Квадратичний закон взаємності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності, твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь в модульній арифметиці .

Твердження[ред.ред. код]

Елементарне твердження[ред.ред. код]

Нехай маємо два різні прості числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

  • Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, тоді рівняння щодо невідомої x :
x^2\equiv p \pmod{q}
має розв'язок тоді й лише тоді коли має розв'язок щодо невідомої y наступне рівняння:
y^2\equiv q \pmod{p}
  • Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, тоді рівняння щодо невідомої x :
x^2\equiv p \pmod{q}
має розв'язок тоді й лише тоді коли рівняння щодо невідомої y :
y^2\equiv q \pmod{p}
не має розв'язку.

Твердження за допомогою символа Лежандра[ред.ред. код]

З використанням символу Лежандра, твердження закону може бути записано :

 \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}

Також існує два доповнення до закону:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2     і     \left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.


Приклади[ред.ред. код]

Для простих чисел[ред.ред. код]

Нехай p буде рівне 11 а q рівне 19, i тоді \left(\frac{11}{19}\right)= -\left(\frac{19}{11}\right)= -\left(\frac{8}{11}\right) (оскільки 19\equiv 8\ (11)). Далі  -\left(\frac{8}{11}\right)= -\left(\frac{-3}{11}\right)= -\left(\frac{11}{3}\right)= -\left(\frac{2}{3}\right), і оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3 маємо: -\left(\frac{2}{3}\right)=-(-1)= 1. Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити: 7^2 =49=38+11 \equiv 11 \pmod{19}

Загальний випадок[ред.ред. код]

Покажемо що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. З властивостей символу Лежандра маємо :

\left(\frac{219}{383}\right)= \left(\frac{3}{383}\right)\left(\frac{73}{383}\right)

Використання квадратичного закону взаємності дає рівність :

\left(\frac{219}{383}\right)= -\left(\frac{383}{3}\right)\left(\frac{383}{73}\right)

Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату :

\left(\frac{219}{383}\right)=-\left(\frac{-1}{3}\right)\left(\frac{18}{73}\right) = -\left(\frac{-1}{3}\right) \left(\frac{2}{73}\right) \left(\frac{9}{73}\right) = \left(\frac{2}{73}\right)=(-1)^{\left(\frac{73^2-1}{8}\right)}=(-1)^{666}=1

Див. також[ред.ред. код]