Квадратичний лишок

Квадратичний лишок по модулю $m$ — ціле число $\ a$ , для якого має розв'язок наступне порівняння

$\ x^2 \equiv a \pmod{m}.$

Якщо вказане порівняння не має розв'язку, то число $a$ називається квадратичним нелишком по модулю $m$ .

Властивості [ред.]

Критерій Ейлера: Нехай $p>2$ просте число. Число а, взаємно просте з $p$ , є квадратичним лишком по модулю $p$ тоді і тільки тоді, коли

$a^{(p-1)/2} \equiv 1\pmod{p} \,$

і є квадратичним нелишком по модулю p тоді і тільки тоді, коли

$a^{(p-1)/2} \equiv -1\pmod{p}.\,$

Квадратичний закон взаємності
Квадратичні лишки, взаємно прості з модулем, утворюють мультиплікативну підгрупу кільця лишків, зокрема:
- лишок $\times$ лишок = лишок;
- нелишок $\times$ лишок = нелишок.