Квадратний корінь з двох

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи в прямокутному трикутнику з довжиною катетів 1.

Квадратний корінь з числа 2 — дійсне число більше нуля, яке при множенні саме на себе дає число 2. Позначення: \sqrt{2}. Приведемо значення кореня з 2 з 65 знаками після коми:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометричний корінь з 2 можливо представити як довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 (це слідує з теореми Піфагора). Можливо, це було перше відоме в історії математики ірраціональне число (тобто число, яке неможливо точно представити у вигляді дробу).

Квадратний корінь з 2.

Гарним і часто використовуваним наближенням до \sqrt{2} є дріб \tfrac{99}{70}. Не дивлячись на те, що чисельник і знаменник дробу лише двозначні цілі, воно відрізняється від реального значення менше, ніж на 1/10000.

Ірраціональне число √2
Система числення Запис числа √2
Двійкова 1.0110101000001001111…
Десятична 1.4142135623730950488…
Шістнадцяткова 1.6A09E667F3BCC908B2F…
Ланцюговий дріб 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}

Історія[ред.ред. код]

Вавилонська глиняна табличка з максимально точним зазначенням довжини діагоналі одиничного квадрата чотиризначним шістдесятиричним числом.

Вавилонська глиняна табличка (1900 до н. е. — 1650 до н. е.) дає найбільш точне наближене значення \sqrt{2} при записі в чотирьох шістдесяткових цифрах, що після округлення становить 6 точних десяткових цифр:

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.[1]

Інше раннє наближення цього числа в давньоіндійському математичному тексті, Шульба-сутри (бл. 800–200 до н. е.) дається наступним чином:

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.

Піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, або на сучасній мові, що квадратний корінь з двох є ірраціональним. Мало що відомо з певністю про час і обставини цього видатного відкриття, але традиційно його авторство приписується Гіппасу Метапонтському, якого за це відкриття, за різними варіантами легенди, піфагорійці не то вбили, не то вигнали, поставивши йому в провину руйнування головної піфагорейської доктрини про те, що «все є натуральне число». Тому квадратний корінь з 2 іноді називають постійною Піфагора, так як саме піфагорійці довели його ірраціональність, тим самим відкривши існування ірраціональних чисел.

Алгоритми обчислення[ред.ред. код]

Існує безліч алгоритмів для обчислення значення квадратного кореня з двох. В результаті алгоритму виходить приблизне значення \sqrt{2} у вигляді звичайної або десяткового дробу. Найпопулярніший алгоритм для цього, який використовується в багатьох комп'ютерах і калькуляторах, це вавилонський метод обчислення квадратних коренів. Він полягає в наступному:

a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.

Чим більше повторень в алгоритмі (тобто, чим більше «n»), тим краще наближення квадратного кореня з двох. Кожне повторення приблизно подвоює кількість правильних цифр. Наведемо кілька перших наближень:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

У 1997 році Ясумаса Канада вирахував значення √2 до 137 438 953 444 десятеричних знаків після коми. У лютому 2007 року рекорд був побитий: Сигэру Кондо вирахував 200 мільярдів десятеричних знаків після коми протягом 13 днів і 14 годин, використовуючи процесор з частотою 3,6 ГГц і 16 ГБ ОЗУ. Серед математичних констант тільки \pi було обчислено більш точно.

Властивості квадратного кореня з двох[ред.ред. код]

Половина √2 приблизно дорівнює 0.70710 67811 86548; ця величина дає в геометрії та тригонометрії координати одиничного вектора, який утворює кут 45° з координатними осями:

\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Одна з цікавих властивостей √ 2 полягає в наступному:

 \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1. Тому що (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.

Це є результатом властивості срібного перетину.

Друга цікава властивість √2:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.\,

Квадратний корінь з двох може бути виражений у уявних одиницях i використовуючи тільки квадратні корені і арифметичні операції:

\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i} і \frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.

Квадратний корінь з 2 є єдиним числом, відмінним від 1, чия нескінченна тетрація дорівнює його квадрату.

\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2

Квадратний корінь з двох може бути також використаний для наближення \pi:

2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\ (m \to \infty) [2]

З точки зору вищої алгебри, \sqrt{2} є коренем многочлена x^2-2 і тому є цілим алгебраїчним числом. Множина чисел виду a+b\sqrt{2}, де ~a, b — раціональне число, створює алгебраїчне поле. Воно позначається \mathbb{Q}[\sqrt{2}] і є підполем поля дійсних чисел.

Доказ ірраціональності[ред.ред. код]

Застосуємо доказ від протилежного: нехай, \sqrt{2} раціональний, тобто представляється у вигляді дробу \frac{m}{n}, де m і n — цілі числа. Піднесемо рівність в квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Так як m2 містить парне число двійок, а 2n2 — непарне число, отже рівність m2=2n2 неможлива. Це означає, що вихідне припущення було невірним, і \sqrt{2} — ірраціональне число.

Ланцюговий дріб[ред.ред. код]

Квадратний корінь з двох може бути представлений у вигляді ланцюгового дробу:

 \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}.

Відповідні дроби даного ланцюгового дробу дають наближені значення, швидко сходяться до точному квадратному кореню з двох. Спосіб їх обчислення простий: якщо позначити попередню відповідну дріб \frac {m}{n}, то подальша має вигляд \frac {m+2 n}{m+n}. Швидкість збіжності тут менше, ніж у методу Ньютона, але обчислення набагато простіше. Випишемо декілька перших наближень:

\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots

Квадрат останньої наведеної дробу дорівнює (округлено) 2,000000177.

Розмір паперу[ред.ред. код]

Квадратний корінь з двох є пропорцією формату паперу ISO 216. Співвідношення сторін таке, що при розрізанні аркуша навпіл, паралельно його короткій стороні, вийдуть два аркуша тієї ж пропорції. Це дозволяє нумерувати такі, найбільш уживані формати паперу одним числом згідно з геометричним зменшенням площі листа (відповідно числу розрізів) — А0, А1, А2, А3, А4,…

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. YBC 7289 clay tablet
  2. Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, London: Oxford University Press, сторінка 124