Квазігрупа (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квазігрупаалгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, що подібна до групи тим, що в ній завжди можливе ділення (інших властивостей групи квазігрупа немає).

Квазігрупа з одиницею називається лупа (англ. loop - петля).

Визначення[ред.ред. код]

Є два еквівалентні визначення:

Квазігрупа (Q, *) — це множина Q з бінарною операцією * : Q × QQ (тобто магма), такою що для довільних a, bQ існують і єдині x, yQ, що:

a * x = b,
y * a = b.

Розв'язки цих рівнянь записують так:

x = a \ b,
y = b / a.

Операції \ та / називають лівим та правим діленням. Якщо визначена тільки одна з операцій, то таку структуру називають ліва чи права квазігрупа, відповідно.

Квазігрупа (Q, *, \, /) — універсальна алгебра сигнатури (2,2,2), що задовільняє тотожності:

y = x * (x \ y),
y = x \ (x * y),
y = (y / x) * x,
y = (y * x) / x.

Якщо (Q, *) є квазігрупою за першим визначенням, тоді (Q, *, \, /) є еквівалентною квазігрупою в розумінні універсальної алгебри.

Лупа — квазігрупа з одиничним елементом e, тобто, таким що:

x*e = x = e*x .

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Латинські квадрати[ред.ред. код]

  • Таблиця множення скінченної квазігрупи утворює латинський квадрат. І навпаки, довільний латинський квадрат може бути вибраний за таблицю множення, щоб утворити квазігрупу.

Властивість скорочення[ред.ред. код]

  • Ліва квазігрупа є скорочуваною зліва якщо ∀a,b,cQ: з (ab = ac) слідує (b = c).
  • Права квазігрупа є скорочуваною справа якщо ∀a,b,cQ: з (ba = ca) слідує (b = c).
  • Квазігрупа є скорочуваною зліва та справа. Кажуть — має властивість скорочення.

Властивість обернення[ред.ред. код]

Одиничний елемент лупи є єдиним, тому для кожного елемента лупи існує єдиний лівий та правий обернений елемент:

a L = e / a,      a L a = e,
a R = a \ e,      a a R = e.

Примітка: використали праве та ліве ділення.

  • Лупа має обернення зліва якщо задовільняє тотожність xL (xy)=y, чи еквівалентну x\y=xL y.
  • Лупа має обернення справа якщо задовільняє тотожність (yx)xR=y, чи еквівалентну y/x=y xR.
  • Лупа має антиафтоморфне обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L = yL xL, чи еквівалентну (xy)R = yR xR.
  • Лупа має слабе обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L x=yL, чи еквівалентну x(yx)R=yR.

Якщо лупа задовільняє дві з вищеперечислених властивостей, то вона задовільняє всі чотири властивості і кажуть — має властивість обернення. І тоді xL = xR для всіх елементів.

Морфізми[ред.ред. код]

Гомоморфізм квазігруп чи луп це відображення f: QP таке що f(xy) = f(x)f(y). Воно зберігає ліве та праве ділення а також одиницю (якщо існує).

Гомотопія та ізотопія[ред.ред. код]

  • Гомотопія квазігруп з Q в P є трійка (α, β, γ) відображень з Q в P такі, що
\forall x,y \in Q: \alpha(x)\beta(y) = \gamma(xy).

Гомоморфізм квазігруп є гомотопією, де всі відображення збігаються.

  • Ізотопія це гомотопія, в якій всі три відображення (α, β, γ) є бієктивними.
  • Автотопія — це ізотопія квазігрупи в себе.
  • Довільна квазігрупа ізотопна лупі. Якщо лупа ізотопна групі, тоді вона є групою. Хоча, квазігрупа, що ізотопна групі, може не бути групою.

Література[ред.ред. код]