Квазі-арифметичне середнє

Квазі-арифметичне середнє (середнє за Колмогоровим) для дійсних чисел $x_1, \ldots, x_n \!$ визначається як

$M_f(x_1,\ldots,x_n) = f^{-1} \left( \frac{f(x_1)+ \ldots +f(x_n)}{n} \right)$

де $f \!$ — неперервна строго монотонна функція, а $f^{-1} \!$ — обернена функція до $f \!$.

Часткові випадки

• При $f(x)=x\!$ — отримуємо середнє арифметичне,
• При $f(x) = \log x \!$ — отримуємо середнє геометричне,
• При $f(x) = x^{-1}\!$ — отримуємо середнє гармонійне,
• При $f(x) = x^2 \!$ — отримуємо середнє квадратичне,
• При $f(x) = x^\alpha, \ \alpha \ne 0$ — отримуємо середнє степеневе.

У 1930 році А. М. Колмогоров довів, що будь-яка середня величина має вигляд функції $M(x_1\ldots,x_n)$, якщо володіє властивостями:

• неперервна та монотонна по кожному $\ x_i, i=1,\ldots,n,$
• симетрична (значення не змінюється при перестановці аргументів)
• деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не міняючи спільного середнього.

Середні Колмогорова використовують в прикладній статистиці і економетриці.

Дивись також

• Середнє зважене

Джерела

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа (вид. четверте). Москва: Наука. с. 544. ISBN 5-9221-0266-4.