Квантиль

Квантиль — одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше Кендалом в 1940 р.) розподілення значень — це таке число x_p, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне x_p. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної — це таке значення (x_p), що 25% (p) значень змінної попадають нижче даного значення.

Визначення

Нехай маємо ймовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, і $\mathbb{P}^{X}$ — ймовірнісна міра, що задає розподіл деякої випадкової величини $X$. Нехай зафіксовано $\alpha \in [0,1]$. Тоді $\alpha$-квантилем (або квантилем рівня $\alpha$) розподілу $\mathbb{P}^{X}$ називається число $x_{\alpha} \in \mathbb{R}$, таке що

$\mathbb{P}^X((-\infty,x_{\alpha}]) \equiv \mathbb{P}(X\le x_{\alpha}) = \alpha$.

Зауваження

• Якщо розподіл неперервний, то $\alpha$-квантиль однозначно задається рівнянням

$F_X(x_{\alpha}) = \alpha$,

де $F_X$ — функція розподілу $\mathbb{P}^X$ .

• Очевидно що для неперервних розподілів справедлива наступна рівність, яка широко використовується при побудові довірчих інтервалів:

$\mathbb{P}\left(x_{\frac{1 - \alpha}{2}} \le X \le x_{\frac{1+\alpha}{2}} \right) = \alpha$.

Види квантилей

Медіани і квартилі

Квартилі нормального розподілу

• $0.25$-квантиль називається першим (або нижнім) квартилем;
• $0.5$-квантиль називається медіаною або другим квартилем;
• $0.75$-квантиль називається третім (або верхнім) квартилем.

Інтерквартильним розмахом (англ. Interquartile range) називається різниця між третім і першим квартилем, тобто $x_{0.75} - x_{0.25}$. Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість математичного сподівання і дисперсії у разі розподілів з великими викидами, або при неможливості обчислення останніх.

Дециль

Дециль характеризує розподіл величин сукупності, при якій дев'ять значень дециля ділять її на десять рівних частин. Будь-яка з цих десяти частин становить 1/10 всій сукупності. Так, перший дециль відокремлює 10% найменших величин, лежачих нижче дециля від 90% найбільших величин, лежачих вище дециля.

Перцентиль

$p$-им перцентилем називають квантиль рівня $\alpha=p/100$. При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих $p$, хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль — 25-м і 75-м перцентилем. В цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення вірогідності — абсолютна і процентна. Перцентілі також називаються процентилями або центилями.

Квантилі стандартного нормального розподілу

Ймовірність,%	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000	0,000

Див. також

• Квантилі розподілу Стьюдента
• Квантилі розподілу хі-квадрат

Посилання

Це незавершена стаття із статистики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.