Квантиль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квантиль — одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці[1]. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше Кендалом в 1940 р.) розподілення значень — це таке число xp, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне xp. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної — це таке значення (xp), що 25% (p) значень змінної попадають нижче даного значення[2].

Визначення[ред.ред. код]

Нехай маємо ймовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), і \mathbb{P}^{X} — ймовірнісна міра, що задає розподіл деякої випадкової величини X. Нехай зафіксовано \alpha \in [0,1]. Тоді \alpha-квантилем (або квантилем рівня \alpha) розподілу \mathbb{P}^{X} називається число x_{\alpha} \in \mathbb{R}, таке що

\mathbb{P}^X((-\infty,x_{\alpha}]) \equiv \mathbb{P}(X\le x_{\alpha}) = \alpha.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Якщо розподіл неперервний, то \alpha-квантиль однозначно задається рівнянням
F_X(x_{\alpha}) = \alpha,
де F_X — функція розподілу \mathbb{P}^X .
  • Очевидно що для неперервних розподілів справедлива наступна рівність, яка широко використовується при побудові довірчих інтервалів:
\mathbb{P}\left(x_{\frac{1 - \alpha}{2}} \le X \le x_{\frac{1+\alpha}{2}} \right) = \alpha.

Види квантилей[ред.ред. код]

Медіани і квартилі[ред.ред. код]

  • 0.25-квантиль називається першим (або нижнім) квартилем;
  • 0.5-квантиль називається медіаною або другим квартилем;
  • 0.75-квантиль називається третім (або верхнім) квартилем.

Інтерквартильним розмахом (англ. Interquartile range) називається різниця між третім і першим квартилем, тобто x_{0.75} - x_{0.25}. Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість математичного сподівання і дисперсії у разі розподілів з великими викидами, або при неможливості обчислення останніх.

Дециль[ред.ред. код]

Дециль характеризує розподіл величин сукупності, при якій дев'ять значень дециля ділять її на десять рівних частин. Будь-яка з цих десяти частин становить 1/10 всій сукупності. Так, перший дециль відокремлює 10% найменших величин, лежачих нижче дециля від 90% найбільших величин, лежачих вище дециля.

Перцентиль[ред.ред. код]

p-им перцентилем називають квантиль рівня \alpha=p/100. При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих p, хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль — 25-м і 75-м перцентилем. В цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення вірогідності — абсолютна і процентна. Перцентілі також називаються процентилями або центилями.

Квантилі стандартного нормального розподілу[ред.ред. код]

Ймовірність,% 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00
Квантиль 3,715 3,090 2,326 2,000 1,960 1,645 1,282 1,000 0,000

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Статистика Це незавершена стаття із статистики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.