Квантовий осцилятор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квантовий гармонічний осцилятор  — квантовий аналог класичного гармонічного осцилятора, при цьому розглядаються не сили, що діють на цю частинку, а її гамільтоніан, тобто повну енергію гармонічного осцилятора. При цьому потенціальна енергія вважається квадратично залежною від координат (як і у випадку класичного гармонічного осцилятора), а врахування доданків у її розкладі по координаті приводить до поняття не гармонічного осцилятора. Також це є одна із найважливіших моделей квантової механіки, що має точний розв'язок. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.

Хвильові функції в координатному представленні перших шести станів, n = 0 … 5. По горизонталі відкладена координата x, а по вертикалі — значенння модуля ψ. Графіки не нормовані.
Хвильові функції для перших восьми енергій, n = 0 до 7. Горизонтальна вісь — відхилення x. Графіки не нормовані.

Класичний лінійний (одновимірний) гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

В класичній фізиці функція Гамільтона для лінійного (одновимірного) гармонічного осцилятора має вигляд

H = \frac{p^2_x}{2\mu} + \frac{\mu \omega^2_0}{2}x^2.,

де p_x- імпульс частинки, \mu- її маса, x- відхилення від положення рівноваги, а \omega_0- власна циклічна частота осцилятора.

Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії U(x) = \frac{\mu \omega^2_0}{2}x^2 означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях — сила взаємодії прямує до нуля, а U — до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора.

Лінійний (одновимірний) квантовий гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

В квантовій механіці під лінійним квантовим гармонічним осцилятором (ЛКГО) розуміють систему, яка описується оператором Гамільтона, котрий можна подати у вигляді:

{\hat H} = \frac{{\hat p}^2_x}{2\mu} + \frac{\mu \omega^2_0}{2}{\hat x}^2.,

де {\hat p_x}- оператор імпульса, а {\hat x}- оператор координати. Відповідно до цього гамільтоніану рівняння Шредінгера в «х — представленні» для стаціонарних (основних) станів осцилятора має вигляд:

-\frac{h^2}{2\mu}\cdot \frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{\mu \omega^2_0}{2}\cdot x^2\psi = E\psi

Для розв'язку цього рівняння можна ввести наступні безрозмірні величини:

\xi = \frac{x}{x_0}, x_0 = \sqrt{\frac{h}{\mu \omega_0} }, \lambda = \frac{2E}{h\omega_0}

Позначаючи диференцювання по \xi штрихом та розглядаючи \psi як функцію \xi, після елементарних перетворень приводимо рівняння Шредінгера до канонічного вигляду:

\xi'' + (\lambda - \xi^2)\psi = 0.

Нам необхідно знайти скінченні, неперервні та однозначні розв'язки цього рівняння в інтервалі -\propto \;  < \xi < +\propto \; . Такі розв"язки мають місце не при всих значеннях параметра \lambda, а лише при: \lambda = 2n+1,~n = 0,1,2,3,...,, при чому відповідні власні функції \psi_n(\xi) дорівнюють

\psi_n(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi),~~H_n(\xi) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}e^{\xi^2}\frac{d^n e^{-\xi^2}}{d\xi^n}.

Тут H_n(\xi) — нормовані поліноми Ерміта n- го порядку. При цьому, множник перед e^{\xi^2} вибраний так, що функція \psi_n(\xi) є нормована по \xi до 1:

\int_{-\propto \;}^{\propto \;} \psi^2_n(\xi)\, d\xi =\int_{-\propto \;}^{\propto \;} e^{-\xi^2}H^2_n(\xi)\, d\xi = 1.

Таким чином, одної вимоги неперервності та скінченності \psi виявляється достатньо, щоб параметр \lambda набував лише дискретних значень. Проте, оскільки цей параметр визначає енергію, тому для неї будемо мати також дискретні значення E_n:

E_n = \hbar \omega_0 \left( n + \frac{1}{2}\right ),   n = 0,1,2,3,...

Ця формула показує, що енергія осцилятора E може приймати тільки дискретні значення. Число n, яке визначає номер квантового рівня, називають головним квантовим числом. Енергетичні рівні квантового осцилятора еквідистантні, тобто відстань між двома сусідніми рівнями є сталою величиною, що дорівнює \hbar \omega_0. Навіть в основному стані n=0 енергія осцилятора відмінна від нуля: E_0=\hbar \omega_0/2. Нарешті можна записати власну функцію, яка відповідає n- му значенню енергії в «x»- представленні у вигляді:

\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{x_0}}e^{-\frac{x^2}{x_0^2}}H_n(x/x_0).

Ці функції нормовані так, що \int_{-\propto \;}^{\propto \;} \psi^2_n(x)\, dx = 1. Користуючись наведеними вище формулами можна виписати декілька власних функцій у явному вигляді:

\psi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{x_0\sqrt{\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}},~~
\psi_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2x_0\sqrt{\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\cdot \frac{2x}{x_0},~~
\psi_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2^3x_0\sqrt{\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\left (4\frac{x^2}{x_0^2} - 2\right ).

Перша функція не дорівнює нулю у всій області визначення, за виключенням граничних випадків x = \pm \; \propto \;. Друга функція дорівнює нулю при x = 0. Точку, де хвильова функція дорівнює нулю, можна назвати вузлом. Третя функція дорівнює нулю при x = \pm \; \frac{x_0}{\sqrt{2}} і має таким чином, два вузли. Тут можна відмітити, що кількість вузлів хвильової функції дорівнює її номеру n. Ця властивість справедлива для будь-якого значення n. Таким чином, квантове число дорівнює числу вузлів власної функції. Ці функції зображені на верхньому малюнку. Вигляд функцій \psi_n аналогічний вигляду функції U_n(x), який показує коливання закріпленої на кінцях струни.

Щоб отримати ще повніше уявлення про квантові стани осцилятора, можна привести нижній малюнок для потенціальної функції осцилятора

U(x) = \frac{\mu \omega_0^2}{2}x^2.

Вздовж осі ординат відкладено потенційна енергія, а вздовж осі абсцис — відхилення x.

Оператори народження та знищення[ред.ред. код]

Якщо визначити оператори народження \hat{a}^+ та знищення \hat{a} як

 \hat{a}^+ = \frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q - i \hat{p})~,~~~
 \hat{a} =\frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q + i \hat{p}) 
,

то гамільтоніан квантового осцилятора можна записати так:

 \hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^+\hat{a} + \frac{1}{2} \right) .

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

 \hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = 1  .

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

 \psi_n = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n \psi_0 ,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

 |n> = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n |0 \rangle .

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n \rangle призводить до переходу в стан |n+1 \rangle:

 \hat{a}^+ |n \rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle .

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

 \hat{a} |n \rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle

Оператор

 \hat{N} = \hat{a}^+\hat{a}

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

 \hat{N}|n \rangle = n|n\rangle

Правила відбору[ред.ред. код]

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою  \omega .

N-вимірний квантовий гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

Зв'язані гармонічні осцилятори[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1983. — 664 с.

Див. також[ред.ред. код]