Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси \mu в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:


\left \{\Delta^2 + \frac{2\mu}{\hbar \;^2} [E - U(\vec r)]\right\}\psi = 0.


Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і \nabla\psi на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні \sigma зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

\psi та \nabla\psi неперервні на \sigma

Одновимірна прямокутна яма[ред.ред. код]

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

U(x) = \begin{cases} 0, & -a/2 \le \;  x \le \; a/2,  \\ U_0, & x < -a/2, x> a/2 \end{cases}

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

\left\{\frac{d^2}{dx^2} + \frac{2\mu}{\hbar \;^2}[\epsilon - U(x)]\right\}\psi(x) = 0.

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії x  \to \; -x, і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень x, тобто в області 0 \le \; x < \infty. Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці x = 0; для станів позитивної парності при x = 0 повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія \epsilon \ge \; 0. Розглянемо значення енергії \epsilon < U_0. Нехай далі:

k^2 = \frac{2\mu \epsilon}{\hbar \;^2}, \gamma^2 =  \frac{2\mu }{\hbar \;^2}(U_0 - \epsilon).

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

\left(\frac{a}{b} +k^2\right)\psi_I ,   0 \le \; x \le \; a/2;

\left(\frac{a}{b} -\gamma^2\right)\psi_I ,   ; x \ge \;  a/2;

Скінченні розв'язки \psi_{II} при x  \to \;  \infty можна записати у вигляді

\psi_{II}  = Ae^{-\gamma x}.

А розв'язки \psi_I , які відповідають станам позитивної парності, будуть:

\psi_I ^{(+)} = B \cos kx.

Для станів негативної парності маємо:

\psi_I ^{(-)} = C \sin kx

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності \psi та \frac{d\psi}{dx} в точці x = a/2 випливає два однорідних рівняння для визначення A та B :

B\cos (ka/2) = Ae^{-\gamma a/2},

B\sin (ka/2) =  \frac{\gamma}{k}Ae^{-\gamma a/2}.

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

k\tan (ka/2) = \gamma =  \sqrt{\frac{2\mu U_0}{\hbar \;^2} - k^2}.

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом \pi, то це рівняння можна перетворити до вигляду:

ka = n\pi - 2\arcsin (\frac{\hbar \;k}{\sqrt{2\mu U_0}})

де n = 1, 3,... ; значення арксинуса необхідно брати в інтервалі 0, \pi/2 . Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа k . Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення k можуть лежати тільки в інтервалі 0 \le \; k \le \;   \frac{\sqrt{2\mu U_0}}{\hbar \;}. Значення k_n, що задовольняють це рівняння при n = 1, 3,... ; відповідають точкам перетину прямої ka та монотонно спадаючих кривих

\zeta_n(k) = n\pi - 2\arcsin (\frac{\hbar \; k}{\sqrt{2\mu U_0}})..

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень U_0 (U_0 \gg \;  \epsilon ). У цьому разі

\arcsin (\frac{\hbar \; k}{\sqrt{2\mu U_0}}) \approx \; 0

та \frac{\pi}{a} n, де n = 1, 3,... ; При цьому енергія частки

\epsilon_n^{(+)} =  \frac{\pi^2\hbar \;^2}{2\mu a^2}n^2, n непарне.

Хвильові функції \psi_{II} = 0 . А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

\int_{-a/2}^{a/2} |\psi_I|^2\, dx  = 1,

мають вигляд

\psi_I^{(+)} =  \sqrt{\frac{2}{a}}\cos (\frac{\pi n}{a}x), n непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності \psi та \frac{d\psi }{dx} у точках x = a/2 приводять до системи рівнянь:

C \sin ka/2 = Ae^{-\gamma a/2},

C \cos ka/2 = -\frac{\gamma}{k}Ae^{-\gamma a/2},

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

k \cot ka/2 = - \gamma.

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При n = 2, 4, 6,... воно визначає значення k_n , які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

 \epsilon_n = \frac{\hbar \;^2 k_n^2}{2\mu a^2} , де k_n визначаються точками перетину прямої ka та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення n = 1, 3,... ; відповідають станам позитивної парності, а значення n = 2, 4, 6,... відповідають станам негативної парності.

Двовимірна прямокутна яма[ред.ред. код]

Тривимірна прямокутна яма[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Давыдов А.С. Квантовая механика. Изд. 2-е, перераб. - М.: Наука, 1973. - 703 с.

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]