Кватерніони

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

(Перенаправлено з Кватерніон)

Кватерніо́н — гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Вперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніон має вигляд $a + bi + cj + dk, \,$ де

$a,b,c,d\,$ — дійсні числа;

$i,j,k\,$ — уявні одиниці, що задовольняють співвідношенням

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, \!$ , з яких випливають ще й такі співвідношення: $\begin{matrix} ij & = & -ji & = & k, \\ jk & = & -kj & = & i, \\ ki & = & -ik & = & j. \end{matrix}$

Часто замість $i,j,k \,$ використовують позначення для уявних одиниць відповідно $i_1,i_2,i_3, \,$ а також покладають $i_0:=1. \,$

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень: $e_0,e_1,e_2,e_3. \,$

Кватерніони також можна визначити через комплексні числа, використовуючи процедуру подвоєння Келі-Діксона.

[ред.] Пов'язані означення

Для кватерніона $\,q=a+bi+cj+dk$ ,

дійсне число $a \,$ називається скалярною частиною кватерніона, а $V = bi+cj+dk \,$ — його векторною частиною.

Якщо $\,V=0$ , то кватерніон називаєтся чисто скалярним, а при $\,a=0$ — чисто векторним.

Kватерніон $\bar{q}=a-bi-cj-dk$ називається спряженим до $\,q$ .

Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначається як: $|q|=\sqrt{q\bar{q}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.$

Якщо $\,|q|=1,$ то $\,q$ називається одиничним кватерніоном. Легко перевірити, що $|p \cdot q|=|p| \cdot |q|$ , тобто кватерніони мають мультипликативну норму; з цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

[ред.] Алгебраїчні властивості

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, неважко отримати такі властивості:

додавання кватеріонів є асоціативним та комутативним,
множення кватерніонів є асоціативним, але не є комутативним.

З некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Це свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

[ред.] Векторне представлення

Кватерніон $\ \mathbf{q} = a + bi + cj + dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$\ \mathbf{q} = (s, \vec{v}), \quad s=a, \quad \vec{v} = (b,c,d)$ .

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

$\ \mathbf{q_1 q_2} = (s_1, \vec{v_1})(s_2, \vec{v_2}) = (s_1 s_2 - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, \;\; s_1\vec{v_2} + s_2\vec{v_1} + \vec{v_1}\times\vec{v_2}).$

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток.

[ред.] Кватерніони і повороти простору

Детальніше у статті Кватерніони і повороти простору

[ред.] Комплексні кватерніони

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що $a,\,$ $b,\,$ $c,\,$ $d\,$ — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця $i\,$ не ототожнюється з кватерніонною одиницею $i,\,$ так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).