Кватерніони і повороти простору

Кватерніон $\ \mathbf{q} = a + bi + cj + dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$\ \mathbf{q} = (s, \vec{v}), \quad s=a, \quad \vec{v} = (b,c,d)$,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

$\ \mathbf{q_1 q_2} = (s_1, \vec{v_1})(s_2, \vec{v_2}) = (s_1 s_2 - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, \;\; s_1\vec{v_2} + s_2\vec{v_1} + \vec{v_1}\times\vec{v_2}).$

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

$\ \vec{v_1}\times\vec{v_2} = {\mathbf{q_1 q_2 - q_2 q_1} \over 2}.$

Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторі

Покажемо що результатом повороту вектора $\ \vec{v}$ на кут $\ \alpha$ відносно осі $\ \vec{u}$ (одиничний вектор) буде: $\mathbf{v}' = \mathbf{q v q^{-1}}$, де

$\mathbf{v} = (0, \;\; \vec{v})$ — чисто векторний кватерніон,

$\mathbf{u} = (0, \;\; \vec{u})$ — чисто векторний кватерніон,

$\mathbf{q} = \left(\cos \frac{\alpha}{2}, \;\; \vec{u} \sin \frac{\alpha}{2} \right), \qquad |\mathbf{q}|= 1, \quad \mathbf{q^{-1} = \mathbf{q^*}}.$

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

$\mathbf{q} = \cos \frac{\alpha}{2} + \mathbf{u} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} .$

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

$\ \mathbf{uvu} = (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} = \vec{v} - 2\vec{u}(\vec{u} \cdot \vec{v}).$

Обчислимо добуток:

$\mathbf{v}' = \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \mathbf{u} \sin \frac{\alpha}{2} \right) \; \mathbf{v} \; \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \mathbf{u} \sin \frac{\alpha}{2} \right)$

$\begin{matrix} \mathbf{v}' &=& - \mathbf{uvu} \sin^2 \frac{\alpha}{2} &+& \mathbf{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} &+& (\mathbf{uv-vu}) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\ &=& (2 \vec{u} (\vec{u} \cdot \vec{v}) - \vec{v}) \sin^2 \frac{\alpha}{2} &+& \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} &+& (\vec{u} \times \vec{v}) (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) \\ &=& \vec{u} (\vec{u} \cdot \vec{v}) (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) &+& \vec{v} (\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}) &+& (\vec{u} \times \vec{v}) \sin\alpha \\ &=& \vec{u} (\vec{u} \cdot \vec{v}) (1 - \cos \alpha) &+& \vec{v} \cos \alpha &+& (\vec{u} \times \vec{v}) \sin\alpha \\ &=& \vec{u} (\vec{u} \cdot \vec{v}) &+& (\vec{v} - \vec{u} (\vec{u} \cdot \vec{v})) \cos \alpha &+& (\vec{u} \times \vec{v}) \sin\alpha \\ &=& \vec{v}_{\|} &+& \vec{v}_{\bot} \cos \alpha &+& (\vec{u} \times \vec{v}_{\bot}) \sin\alpha, \end{matrix}$

де $\vec{v}_{\|}$ та $\vec{v}_{\bot}$ компоненти вектора $\vec{v}$ паралельні і перпендикулярні до $\vec{u}$ відповідно:

• $\vec{v} = \vec{v}_{\|} + \vec{v}_{\bot}$
• $\vec{u} \; \| \; \vec{v}_{\|}$
• $\vec{u} \; \bot \; \vec{v}_{\bot}.$

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Кількість операцій

Обчислення результату двох поворотів

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту $\mathbf{R = R_2 R_1}$	9	27	18
Кватерніон $\mathbf{q = q_2 q_1}$	4	16	12

Обчислення повороту точки

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту $\mathbf{v' = R v}$	9	9	6
Кватерніон $\mathbf{v' = q v q^{-1}}$	4	15	12

Матриця повороту

Докладніше у статті Матриця повороту

• Поворотові за допомогою одиничного кватерніона $\ \mathbf{q} = a + bi + cj + dk$ відповідає наступна матриця повороту

$\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1-2(c^2+d^2) &2bc-2ad &2ac+2bd \\ 2ad+2bc &1-2(b^2+d^2) &2cd-2ab \\ 2bd-2ac &2ab+2cd &1-2(b^2+c^2)\\ \end{pmatrix}.$

• Якщо представимо кватерніон у вигляді $\mathbf{q} = \left(\cos \frac{\alpha}{2}, \;\; \vec{u} \sin \frac{\alpha}{2} \right), \quad \vec{u} = (x,y,z);$ тоді

$\mathbf{R}_\vec{u}(\alpha) = \bold{uu}^T + (I - \bold{uu}^T)\cos\alpha + \big[\bold{u}\big]_{\times}\sin\alpha.$

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

$\mathbf{v}' = \mathbf{u} (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos\alpha) + \mathbf{v} \cos\alpha + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})\sin\alpha.$

Перший та другий доданки вже не є обов’язково ортогональними.