Класична механіка

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Класична механіка — розділ фізики, який вивчає рух на основі законів Ньютона та принципу відносності Галілея. Тому її часто називають «Ньютоновою механікою». Класична механіка поділяється на:

• статику, тобто фізику тіл у спокої (і вивчає питання їхньої рівноваги)
• кінематику, яка вивчає рух тіл, не беручи до уваги сили
• динаміку, яка вивчає рух тіл під дією сил.

Об'єкти, які вивчаються механікою, називаються механічними системами. Завданням механіки є вивчення властивостей механічних систем, зокрема їхньої еволюції в часі.

Базовими поняттями класичної механіки є поняття сили, маси та руху. Маса в класичній механіці визначається як міра інерції, або здатності тіла до збереження стану спокою або рівномірного прямолінійного руху при відсутності дії на нього сил. З другого боку, сили, які діють на тіло, змінюють стан його руху, викликаючи прискорення. Взаємодія цих двох ефектів і є головною темою механіки Ньютона.

Іншими важливими поняттями цього розділу фізики є енергія, імпульс, момент імпульсу, які можуть передаватись між об'єктами в процесі взаємодії. Енергія механічної системи складається з її кінетичної (енергії руху) та потенціальної (залежної від положення тіла відносно інших тіл) енергій. Щодо цих фізичних величин діють фундаментальні закони збереження.

Історія

Основи класичної механіки були закладені Галілеєм, а також Коперником і Кеплером при вивченні закономірностей руху небесних тіл, і довший час механіка і фізика розглядались в контексті опису астрономічних подій.

У своїх роботах Коперник відзначав, що обчислення закономірностей руху небесних тіл може бути значно спрощено, якщо відійти від принципів, закладених Аристотелем, і вважати Сонце, а не Землю, відправною точкою для таких обчислень, тобто здійснити перехід від геоцентричної до геліоцентричної систем.

Ідеї геліоцентричної системи далі були формалізовані Кеплером в його трьох законах руху небесних тіл. Зокрема, другий закон Кеплера стверджує, що всі планети сонячної системи рухаються еліптичними орбітами, що мають одним зі своїх фокусів Сонце.

Наступний важливий вклад в підвалини класичної механіки був здійснений Галілеєм, який, досліджуючи фундаментальні закономірності механічного руху тіл, зокрема під впливом сил земного тяжіння, сформулював п'ять універсальних законів руху.

Але все ж лаври основного фундатора класичної механіки належать Ісаакові Ньютону, який у своїй роботі «Математичні начала натуральної філософії» здійснив синтез тих понять з фізики механічного руху, які були сформульовані його попередниками. Ньютон сформулював три фундаментальні закони руху, які були названі його іменем, а також закон всесвітнього тяжіння, який підводив риску під дослідженнями Галілеєм явища вільного падіння тіл. Таким чином, була створена нова, на заміну застарілій Аристотелевій, картина світу та базових його законів.

Обмеження класичної механіки

Класична механіка дає точні результати для систем, які ми зустрічаємо в повсякденні. Але вони стають некоректними для систем, швидкість яких наближається до швидкості світла, де вона замінюється релятивістською механікою, або для дуже малих систем, де діють закони квантової механіки. Для систем, які поєднують обидві ці властивості, замість класичної механіки застосовується релятивістська квантова теорія поля. Для систем з дуже великою кількістю складових, або ступенів свободи, класична механіка також може бути адекватною, натомість використовуються методи статистичної механіки

Класична механіка є широко вживаною, тому що вона, по-перше, набагато простіша та легша в застосуванні, ніж перелічені вище теорії, та, по-друге, має великі можливості для апроксимації і застосування для дуже широкого класу фізичних об'єктів, починаючи зі звичних, таких як дзиґа або м'яч, до великих астрономічних об'єктів (планети, галактики) та зовсім мікроскопічних (органічні молекули).

Хоча класична механіка є загалом сумісною з іншими «класичними» теоріями, такими як класична електродинаміка та термодинаміка, все ж існують деякі невідповідності між цими теоріями, які були знайдені наприкінці 19 століття. Вони можуть бути вирішені методами сучаснішої фізики. Зокрема, рівняння класичної електродинаміки неінваріантні відносно перетворень Галілея. Швидкість світла входить у них як константа, що означає, що класична електродинаміка і класична механіка могли б бути сумісними тільки в одній вибраній системі відліку, пов'язнаній з ефіром. Однак, експериментальна перевірка не виявила існування ефіру, що призвело до створення спеціальної теорії відносності, в рамках якої рівняння механіки були модифіковані. Принципи класичної механіки також несумісні з деякими твердженнями класичної термодинаміки, що призводить до парадоксу Гіббса, згідно з яким неможливо точно встановити ентропію, та до ультрафіолетової катастрофи, в якій абсолютно чорне тіло повинно випромінювати нескінченну кількість енергії. Для подолання цих несумісностей була створена квантова механіка.

Математичний апарат

Базовий математичний апарат класичної механіки — диференційне та інтегральне числення, розроблене спеціально для цього Ньютоном та Лейбніцем. В класичному формулюванні механіка будується на трьох законах Ньютона.

Викладення основ теорії

Далі дається викладення базових концепцій класичної механіки. Для простоти будемо використовувати поняття матеріальної точки як об'єкта, розмірами якого можна знехтувати. Рух матеріальної точки визначається невеликою кількістю параметрів: положенням, масою та прикладеними до неї силами.

В реальності, розміри кожного об'єкта, з яким має справу класична механіка, є ненульовими. Матеріальна точка натомість, така як електрон, підкоряється законам квантової механіки. Об'єкти з ненульовими розмірами мають набагато складнішу поведінку, адже їхній внутрішній стан може змінюватись — наприклад, м'яч в русі може ще й обертатись. Тим не менш, до таких тіл можуть бути застосовані результати, отримані для матеріальних точок, якщо розглядати їх як сукупності з великої кількості взаємодійних матеріальних точок. Такі складні об'єкти можуть поводити себе як матеріальні точки, якщо їхні розміри несуттєві в масштабах конкретної фізичної задачі.

Положення, радіус-вектор та його похідні

Положення об'єкта (матеріальної точки) визначається відносно фіксованої точки в просторі, яка називається початком координат. Воно може бути задано координатами цієї точки (наприклад, в Декартовій системі координат) або радіус-вектором r, проведеним з початку координат в цю точку. В реальності, матеріальна точка може рухатись з плином часу, тому радіус-вектор в загальному випадку є функцією часу. В класичній механіці, на відміну від релятивістської, вважається, що плин часу є однаковим в усіх системах відліку.

Траєкторія

Траєкторією називається сукупність усіх положень матеріальної точки, яка рухається — в загальному випадку вона є кривою лінією, вид якої залежить від характеру руху точки та обраної системи відліку.

Переміщення

Переміщення — це вектор, який з'єднує початкове та кінцеве положення матеріальної точки.

Швидкість

Швидкість, або відношення переміщення до часу, протягом якого воно відбувається, визначається як перша похідна від переміщення до часу:

$\mathbf{v} = {d\mathbf{r} \over dt}$.

В класичній механіці, швидкості можна додавати та віднімати. Наприклад, якщо одна машина їде на захід зі швидкістю 60 км/г, та наздоганяє іншу, яка рухається в тому ж напрямку зі швидкістю 50 км/г, то відносно другої машини перша рухається на захід зі швидкістю 60-50 = 10 км/г. Натомість з перспективи швидкішої машини, повільніша рухається зі швидкістю 10 км/г на схід.

Для визначення відносної швидкості у будь-якому випадку застосовуються правила векторної алгебри для складання векторів швидкості.

Прискорення

Прискорення, або швидкість зміни швидкості — це похідна від швидкості до часу або друга похідна від переміщення до часу:

$\mathbf{a} = {d\mathbf{v} \over dt}$.

Вектор прискорення може змінюватись як за величиною, так і за напрямом. Зокрема, якщо швидкість зменшується, то таке прискорення можна назвати уповільненням, але в фізиці прийнято будь-яку зміну швидкості називати прискоренням.

Сили. Другий закон Ньютона

Другий закон Ньютона стверджує, що прискорення матеріальної точки є прямо пропорційним силі, яка на неї діє, а вектор прискорення направлений по лінії дії цієї сили. Іншими словами, цей закон пов'язує силу, яка діє на тіло з його масою та прискоренням. Математично, другий закон Ньютона записується так:

$\mathbf{F} = {d(m \mathbf{v}) \over dt}$.

Величина mv називається імпульсом. Зазвичай, маса m є незмінною в часі, і закон може бути переписаний в простішій формі:

$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$

де а — прискорення, яке було визначене вище. Маса тіла m не завжди постійна з плином часу. Наприклад, маса ракети зменшується з використанням пального. За таких обставин, попереднє рівняння є некоректним, і має бути застосована загальна форма другого закону Ньютона.

Другого закону Ньютона самого по собі недостатньо для повного опису руху матеріальної точки. Він потребує визначення тієї сили, яка на неї діє. Наприклад, типовий вираз для сили тертя при русі тіла в газі або в рідині визначається таким чином:

$\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v}$

де $\lambda$ — деяка константа, яка зветься коефіцієнтом тертя.

Після того, як визначені усі сили, на базі другого закону Ньютона може бути записане диференційне рівняння, яке зветься рівнянням руху. В нашому прикладі з лише однією силою, яка діє на частинку, отримаємо:

$- \lambda \mathbf{v} = m \mathbf{a} = m {d\mathbf{v} \over dt}$.

Проінтегрувавши, отримаємо:

$\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{- \lambda t / m}$

де $\mathbf{v}_0$ — початкова швидкість. Це означає, що швидкість руху нашого об'єкта зменшується експоненціально до нуля. Цей вираз в свою чергу може бути знову проінтегрований для отримання виразу для радіус-вектора (положення) точки в залежності від часу.

Якщо на частинку діють декілька сил, всі вони додаються за правилами додавання векторів.

Енергія

Якщо сила F діє на частинку, яка в результаті цього змінює своє положення на δr, то при цьому виконується робота, що дорівнює:

$\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}$.

Якщо маса частинки стала, то сумуючи роботи, які виконані всіма силами, з другого закону Ньютона отримаємо:

$\delta W_{\rm total} = \delta T \,$,

Де Т — кінетична енергія. Для матеріальної точки вона визначається як

$T = {m |\mathbf{v}|^2 \over 2}$.

Для складних об'єктів з багатьох частинок, кінетична енергія системи є сумою кінетичних енергій усіх частинок.

Особливий клас консервативних сил може бути виражений градієнтом скалярної функції, знаної як потенціальна енергія V:

$\mathbf{F} = - \nabla V$.

Якщо усі сили, які діють на частинку, консервативні, а V — повна потенційна енергія, отримана додаванням потенційних енергій всіх сил, то

$\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = - \nabla V \cdot \delta \mathbf{r} = - \delta V$	$\,\! \Rightarrow - \delta V = \delta T$
	$\,\! \Rightarrow \delta (T + V) = 0$.

Тобто повна енергія E=T+V зберігається в часі. Це прояв одного з фундаментальних фізичних законів збереження. В класичній механіці він може бути корисним практично, адже багато різновидів сил в природі є консервативними.

Додаткові відомості

Закони Ньютона мають декілька важливих наслідків для твердих тіл (див. момент імпульсу)

Існують також два важливі альтернативні формулювання класичної механіки: механіка Лагранжа та Гамільтонова механіка. Вони еквівалентні механіці Ньютона, але інколи виявляються кориснішими для аналізу деяких проблем. Вони, як і інші сучасні формулювання, не використовують поняття сили, натомість звертаючись до інших фізичних величин, таких як енергія.

Див. також

• Фізика
• Механіка
• Спеціальна теорія відносності
• Квантова механіка

Стандартні одиниці виміру в механіці (СІ)
Назва	Символ	Розмірність	Фізична величина
секунда (базова одиниця СІ)	с		Час
метр (базова одиниця СІ)	м		Відстань
квадратний метр	м2		Площа
Кубічний метр	м3		Об'єм
Метр за секунду	м / с		Швидкість
Метр за секунду в квадраті	м / с2		Прискорення
кілограм (базова одиниця СІ)	кг		Маса
кілограм метр в секунду	кг м / с		Імпульс
ньютон	Н	кг м / с2	Сила
паскаль	Па	Н / м2 = кг / (м с2)	Тиск
джоуль	Дж	Н &middot м = кг м2 / с2	Енергія, Момент сили
ват	Вт	Вт = Дж/с = кг м2 / с3	Потужність
герц	Гц	1/с	Частота
радіан за секунду	рад/с		Кутова швидкість
радіан за секунду в квадраті	рад/с2		Кутове прискорення
кілограм на метр в квадраті	кг м2		Момент інерції
кілограм на квадратний метр в секунду	кг м2 / с		Кутовий момент

Література

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Іро Г. Класична механіка. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
• Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
• Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. — М.: ИЛ, 1951-1952. — 385+326+435+556 с.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: ИЛ, 1961. — 174 с.