Клас суміжності групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

Означення[ред.ред. код]

Нехай G — деяка група, H — її підгрупа. Множину

gH = \{gh: h \in H\} \subseteq G називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі \ H для елемента g \in G,
Hg = \{hg: h \in H\} \subseteq G називають правостороннім класом суміжності по підгрупі \ H для елемента g \in G.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатнє ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.[1]

Властивості[ред.ред. код]

Справді оскільки 1 \in H то також g \in H. З іншої сторони рівняння gx=a де g,a \in H завжди має розв'язок x \in H.
  • Якщо :f \in gH то тоді \ fH = gH
Справді нехай f = gh, h\in H. Тоді:
\ fH=ghH=gH, де остання рівність випливає з попередньої властивості.
  • Якщо: f \notin gH, тоді fH \bigcap fG = \emptyset
Припустимо fh_1=gh_2; h_1,h_2 \in H. Тоді:
f_=gh_2h^{-1}_1 і оскільки h_1h^{-1}_2 \in H, то також f \in gH,;
З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:
f \sim g якщо fH=gH.
  •  :f \sim g \iff f^{-1}g \in H

Справді маємо f=gh, h\in H, звідки:

1=f^{-1}gh і f^{-1}g=h^{-1}\in H.
  • Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
  • Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

  • l_g\colon H \to gH,\; h \mapsto gh
    p_g\colon H \to Hg,\; h \mapsto hg
  • Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається |G:H|) рівні між собою і виконується рівність:
|G:H| = |G|/|H|. (теорема Лагранжа).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Joshi p. 323
  • Joshi, K. D. (1989). «§5.2 Cosets of Subgroups». Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. с. 322 ff. ISBN 81-224-0120-1. 

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]