Клас суміжності групи

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

Означення [ред.]

Нехай $G$ — деяка група, $H$ — її підгрупа. Множину

$gH = \{gh: h \in H\} \subseteq G$ називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі $\ H$ для елемента $g \in G$ ,

$Hg = \{hg: h \in H\} \subseteq G$ називають правостороннім класом суміжності по підгрупі $\ H$ для елемента $g \in G$ .

Приклад [ред.]

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатнє ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.^[1]

Властивості [ред.]

$\ gH=H$ тоді і лише тоді коли $g \in H$

Справді оскільки $1 \in H$ то також $g \in H.$ З іншої сторони рівняння $gx=a$ де $g,a \in H$ завжди має розв'язок $x \in H.$

Якщо : $f \in gH$ то тоді $\ fH = gH$

Справді нехай $f = gh, h\in H.$ Тоді:

$\ fH=ghH=gH,$ де остання рівність випливає з попередньої властивості.

Якщо: $f \notin gH,$ тоді $fH \bigcap fG = \emptyset$

Припустимо $fh_1=gh_2; h_1,h_2 \in H.$ Тоді:

$f_=gh_2h^{-1}_1$ і оскільки $h_1h^{-1}_2 \in H,$ то також $f \in gH,$ ;

З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:

$f \sim g$ якщо $fH=gH.$

: $f \sim g \iff f^{-1}g \in H$

Справді маємо $f=gh, h\in H,$ звідки:

$1=f^{-1}gh$ і $f^{-1}g=h^{-1}\in H.$

Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

$l_g\colon H \to gH,\; h \mapsto gh$

$p_g\colon H \to Hg,\; h \mapsto hg$
Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається $|G:H|$ ) рівні між собою і виконується рівність: