Кодобуток

Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїсто їхньому добутків, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку звертанням усіх стрілок. Тим не менш, реально добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.

Визначення

Нехай $\mathcal C$ — категорія, $\{X_j | j \in J\}$ — індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт $X$, разом з морфізмами $i_j\colon\, X_i \to X$, які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого $Y \in Ob\,\mathcal C$ та сімейства морфізмів $f_j\colon\, X_j \to Y$ існує єдиний морфізм $f\colon\, X \to Y$, такий що $f_j = f \circ i_j$, тобто наступна діаграма комутативна для всіх $j$:

Кодобуток сімейства $\{ X_j \}$ зазвичай позначають

$X = \coprod_{j\in J}X_j$

або

$X = \bigoplus_{j \in J} X_j.$

Іноді морфізм $f$ позначають

$f=\coprod_{j \in J} f_j: \coprod_{j \in J} X_j \to Y$

щоб підкреслити його залежність від $f_j$.

Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають $X_1 \coprod X_2$ або $X_1 \oplus X_2$, тоді діаграма набуває вигляду

Відповідно, $f$ позначають при цьому $f_1 \coprod f_2$, $f_1 \oplus f_2$ або $[ f_1, f_2 ]$.

Єдиність результату операції $[-,-]$ можна альтернативно виразити як рівність $[ h \circ i_1,h \circ i_2 ] = h$, справедливу для будь-яких $h$.

Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства $\{X_j|j\in J\}$ — це такий об'єкт $X$, що для будь-якого об'єкта $Y\in C$ функція $Hom(X,Y) \rightarrow \prod_{j\in J} Hom(X_j,Y)$, задана як $u \mapsto \{ u \circ i_j\}$, бієктивна.

Властивості

• Якщо сума об'єктів існує, то вона єдина з точністю до ізоморфізму.
• Комутативність: $a + b \simeq b + a.$
• Асоціативність: $(a+b)+c \simeq a+(b+c)$
• Якщо у категорії існує початковий об'єкт $\ 0$, то $a+0 \simeq 0+a \simeq a.$
• Категорія, в якій визначено добуток будь-яких двох об'єктів і є ініціальний об'єкт, є симетричним моноїдом.

Дистрибутивність

У загальному випадку існує канонічний морфізм $X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z)$, де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проекцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Властивість універсальності для $X\times(Y+Z)$ гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

Матриця перетворень

Будь-який морфізм

$f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j$

породжує множину морфізмів

$f_{ij} \colon a_i \to b_j$,

які задаються за правилом $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ задає єдиний відповідний морфізм $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ Якщо у категорії існує нульовий об'єкт $0,$ для котрого для будь-якого об'єкта $x$ існує єдиний морфізм $d_x\colon x \to 0$ і єдиний морфізм $c_x\colon 0\to x$, то матриця перетворення $f_{ij} \colon a_i \to a_j$, яка визначається за правилом

$f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} c_{j} \circ d_{i},~ i\ne j \\ id_i,~ i=j \end{matrix} \right.$

називається одиничною матрицею.

Приклад

В категорії скінченновимірних векторних просторів $\mathcal{V}ect_f$ кодобуток просторів співпадає з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень співпадають, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.

Література

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].

Див. також

• Добуток (теорія категорій) — двоїсте поняття.