Коефіцієнти Клебша-Гордана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Коефіцієнти Клебша-Гордана - числа, які виникають при специфічному додаванні моментів імпульсів у квантових системах. Позначаються  (j_1 j_2 m_1 m_2|jm) або C^{jm}_{j_1m_1j_2m_2} . Коефіцієнти названі на честь німецьких математиків Альфреда Клебша та Пауля Гордана.

Означення[ред.ред. код]

Вектори стану багатьох квантових систем можна вибрати таким чином, щоб вони були власними функціями квадрата оператора кутового момента і його проекції на певну вісь. Такі вектори стану характеризуються двома квантовими числами j та m, відповідні власні значення:

 \hat{J^2} |jm\rangle = \hbar^2 j(j+1) |jm\rangle
 \hat{J}_z |jm\rangle = \hbar m|jm\rangle ,

де  \hbar - зведена стала Планка.

Систему, що складається із двох незалежних підсистем, кожна з яких має власний кутовий момент, можна характеризувати чотирма квантовими числами:  j_1 ,  m_1 та  j_2 ,  m_2 . Вектор стану такої системи можна записати як  |j_1m_1\rangle |j_2m_2\rangle .

Однак, такий вибір власних векторів стану не єдиний. Квадрат оператора суми операторів кутових моментів

 \hat{\mathbf{J}}^2 = (\hat{\mathbf{J}}_1+ \hat{\mathbf{J}}_2)^2 .

комутує з операторами  \hat{\mathbf{J}}^2_1 та  \hat{\mathbf{J}}^2_2 . Те ж саме стосується проекції оператора сумарного моменту:

 \hat{\mathbf{J}}_z = \hat{\mathbf{J}}_{1z} + \hat{\mathbf{J}}_{2z} .

Тому сумарну систему можна характеризувати чотирма квантовими числами:  j_1 ,  j_2 ,  j ,  m , де числа без індексів відносяться сумарної системи. Відповідний вектор стану позначається  |j_1j_2jm\rangle . Нові, сумарні, вектори стану можна подати, як лінійну комбінацію старих, індивідуальних, векторів стану  |j_1m_1\rangle |j_2m_2\rangle . Коефіцієнти цієї лінійної комбінації називаються коефіцієнтами Клебша-Гордана:

 |j_1j_2jm\rangle = \sum_{m_1,m_2} (j_1j_2m_1m_2|jm)|j_1m_1\rangle |j_2m_2\rangle .

Властивості[ред.ред. код]

Коефіцієнти Клебша-Гордана відмінні від нуля тільки тоді, коли

 m = m_1 + m_2 \,.

Крім того, квантове число сумарного орбітального моменту задовольняє умові трикутника:

 |j_2 - j_1| \le j \le |j_1 + j_2| .

Справедливі умови ортогональності та нормування:

 \sum_{jm} (j_1 j_2 m_1 m_2|jm) (j_1 j_2 m_1^\prime m_2^\prime|jm) = \delta_{m_1, m_1^\prime} \delta_{m_2, m_2^\prime}
 \sum_{m_1, m_2} (j_1 j_2 m_1 m_2|jm)(j_1 j_2 m_1 m_2|j^\prime m^\prime)= \delta_{j,j^\prime}\delta_{m,m^\prime}  ,

де  \delta_{ij} - символ Кронекера.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К.: Наукова думка, 1992. — 368 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
  • Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 444 с.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.
  • Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Наука, 1966. — 588 с.

Посилання[ред.ред. код]