Коефіцієнт кореляції рангу Спірмена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Коефіцієнт кореляції рангу Спірмена

Кореляція Спірмена виходячи з диних одного результату, коли дві змінні монотонно пов'язані між собою, навіть якщо це відношення не є лінійним. Навпаки, це не дає досконалої кореляції Пірсона.
Коли дані приблизно еліптично розподілені та немає помітих викидів, коефіцієнти кореляції Спірмена та Пірсона дають близькі значення.
Кореляція Спірмена є менш чутливою, ніж кореляція Пірсона відносно сильних викидів, які знаходяться в кінці обох зразків.

В статистиці коефіцієнт кореляції рангу Спірмена названий на честь Чарльза Спірмена. Цей коефіцієнт є непараметричною мірою статистичної залежності між двома змінними. Він оцінює наскільки гарно можна описати відношення між двома змінними за допомогою монотонної функції. Якщо немає повторних значень даних, то коефіцієнт Спірмана дорівнює 1 або −1, це відбувається коли кожна зміна є монотонною функцією від іншої зміної. Коефіцієнт кореляції, як і будь — яке обчислення кореляції, підходить для безперервних ті дискретних зміних, у тому числі порядкових змінних.

Визначення та розрахунок[ред.ред. код]


Коефіцієнт кореляції Спірмена визначається як коефіцієнт кореляції Пірсона між ранжирування змінні. Для вибірки обсягу n множини Xi, Yi перетворюються в ряди xi, yi та обчислюється наступним чином:

 \rho = \frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar{x})^2 \sum_i(y_i-\bar{y})^2}}.

Однаковим значенням (ранг зв'язків або величина дублікатів) присвоюється ранг, що дорівнює середньому числу їхніх позицій в порядку зростанні величини. У наведеній нижче таблиці зверніть увагу, що ранг значень xi при однаковій величині зміної Xi є однаковими:

Зміна X_i Позиція в порядку зростання Ранг x_i
0.8 1 1
1.2 2 \frac{2+3}{2}=2.5\
1.2 3 \frac{2+3}{2}=2.5\
2.3 4 4
18 5 5

У додатках, де повторювані значення відсутні, проста процедура може бути використана для розрахунку . Різниця d_i = x_i - y_i між рангами кожного спостереження від двох змінних вираховуються і визначається за формулою:  \rho = 1- {\frac {6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}}. Зауважимо, що цей останній спосіб не слід використовувати в тих випадках, коли набір даних буде скорочуватись, тобто, коли коефіцієнт кореляції Спірмена бажаний для верхнього запису X (або шляхом попереднього зміни положення або після зміни рангу або обидва).

Пов'язані величини[ред.ред. код]

Є кілька інших числових критеріїв, які кількісно визначають ступінь статистичної залежності між парами спостережень. Найбільш поширеним з них є коефіцієнт Пірсона, який є аналогічним до методу кореляції рангу Спірмена, який вимірює «лінійні» співвідношення між значеннями, а не між їхніми рангами. Альтернативна назва для рангової кореляції Спірмена є «степінь кореляції», в ній «ранг» зі спостережень замінюється на «степінь». В неперервних розподілах, степінь спостереження, за домовленістю, завжди вдвічі менше, ніж ранг, і, отже, степінь і ранг кореляції по суті одна й таж величина. У більш загальному сенсі «степінь» спостережень пропорційна оцінці частки населення менше заданого значення, при цьому половина спостереження регулюється досліджуваними величинами. Таким чином, це відповідає одній можливій обробці пов'язаних рангів. У той час як незвичайне, термін «степінь кореляції» досі використовується.

Інтерпретація[ред.ред. код]

додатня та від'ємна кореляція Спірмена
додатній коефіцієнт кореляції Спірмена — відповідає збільшенню монотонності між X і Y.
від'ємний коефіцієнт кореляція Спірмена — відповідає монотонному зменшенню між X і Y.

Знак кореляції Спірмена вказує напрямок зв'язку між Х (незалежною змінною) та Y (залежною змінною). Якщо Y має тенденцію до збільшення, коли Х збільшується, коефіцієнт кореляції Спірмена є додатнім. Якщо Y має тенденцію до зменшення, коли X збільшується, коефіцієнт кореляції Спірмена від'ємний. Коефіцієнт Спірмена рівний нулю вказує на те, що Y не збільшується та не зменшується при збільшенні X. Збільшення коефіцієнта Спірмена відбувається при наближенні величин X та Y один до одного таким чином, що вони можуть стати монотонною функцією один одного. Коли X і Y монотонно пов'язані, коефіцієнт кореляції Спірмена набуває значення 1. Ідеальне монотонне зростання співвідношення передбачає, що для будь-яких двох пар значень даних (xi, yi) та (xj, yj) : xi- xj та yi- yj завжди мають однаковий знак. Ідеальне монотонно спадне співвідношення передбачає, що xi- xj та yi- yj завжди мають протилежні знаки. Коефіцієнт кореляції Спірмена часто описується як «непараметричний». Це може мати два значення. По-перше, той факт, що найкращі результати повної кореляції Спірмена які бувають тоді, коли X та Y пов'язані будь-якою монотонною функцією, можна порівняти з кореляцією Пірсона, яка приймає найкраще значення лише коли X та Y зв'язані лінійною функцією. По-друге, кореляція Спірмена є непараметричною в тому сенсі, що його точний розподіл вибірки може бути отриманий без необхідності відомостей про параметри спільного розподілу вірогідності X та Y.

Приклад[ред.ред. код]

У цьому прикладі ми будемо використовувати вихідні дані в таблиці, щоб обчислити кореляцію між IQ людини з кількістю годин, проведених перед телевізором на тиждень.

IQ, X_i Години, проведені за телевізором — Y_i
106 7
86 0
100 27
101 50
99 28
103 29
97 20
113 12
112 6
110 17


По-перше, ми повинні знайти значення d^2_i . Для цього ми зробимо наступні кроки, відображені в таблиці нижче: 1. Сортування даних першої колонки (X_i). Створення нової колонки і привласнити його ранжируваних значень 1,2,3, … N. 2. Далі, сортування даних другої колонки (Y_i). Створення четвертої колонки і так само присвоїти їй ранжируваних значень 1,2,3, … N. 3. Створення п'ятої колонки d_i , що є різницею двох стовпців рангу (X_i та Y_i). 4. Створення останнього стовпця d^2_i для зберігання значення стовпця d_i у квадраті.

IQ, X_i Години, проведені за телевізором Y_i ранг x_i ранг y_i d_i d^2_i
86 0 1 1 0 0
97 20 2 6 −4 16
99 28 3 8 −5 25
100 27 4 7 −3 9
101 50 5 10 −5 25
103 29 6 9 −3 9
106 7 7 3 4 16
110 17 8 5 3 9
112 6 9 2 7 49
113 12 10 4 6 36


Коли знайдено d^2_i , ми можемо знайти \sum d_i^2 = 194. n=10 . Таким чином, тепер ці значення можна підставити в рівняння:  \rho = 1- {\frac {6\times194}{10(10^2 - 1)}} де ρ = -29/165 = −0.175757575…

ρ- рівень (статистична значущість) дорівнює 0,68640058 (використали t розподіл стьюдента).

Таке невелике значення показує, що кореляція між IQ та годинами, проведеними за телевізором дуже низька. У випадку коли вихідні значення пов'язані — ця формула не може бути використана. Замість коефіцієнта кореляції Персона повинні бути пораховані ранги.

Визначення терміну[ред.ред. код]

Один з підходів до тестування : наскільки спостережуване значення ρ значно відрізняється від нуля (г завжди в діапазоні −1 ≤ г ≤ 1) — це обчислення ймовірності того, що значення ρ було б більше або дорівнює змінній г, враховуючи нульову гіпотезу, за допомогою тесту перестановки. Перевагою цього підходу є те, що він автоматично враховує кількість прив'язаних значень даних, що є в зразку, і способі, яким розглядали при обчисленні рангу кореляції. Інший підхід паралельно використовує перетворення Фішера у розумінні коефіцієнта кореляції Персона. Тобто, довірчий інтервал та перевірка гіпотези, пов'язаних з значенням можуть бути знайдені за допомогою перетвореня Фішера:

F(r) = {1 \over 2}\ln{1+r \over 1-r} = \operatorname{arctanh}(r).

Якщо F(r) є перетворенням Фішера для r, то для коефіцієнта кореляції рангу Спірмена та n — розміру вибірки справедливо :

z = \sqrt{\frac{n-3}{1.06}}F(r)

Це є z — значення для r, які приблизно наближується до нормального розподілу в нульовій гіпотезі статистичної незалежності (ρ=0). Можна також перевірити на використання значення:

t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}

яка поширюється приблизно як Т-розподіл Стьюдента з n — 2 ступенями свободи при нульовій гіпотезі. Обгрунтування цього результату залежить від перестановки аргументів. Узагальненням коефіцієнта Спірмена корисно використовувати в ситуаціях, коли є три або більше умов, ряд спостережуваних суб'єктів та відомо, що спостереження матимуть певний порядок. Наприклад, ряду обєктів може бути дано три випробування однаковими завданнями, і це передбачає, що буде відбуватися поліпшення продуктивності від випробування до випробування. Тест значущості тенденції між умовами в цій ситуації був розроблений Page EB і, як правило, називається тенденцією тестової сторінки для упорядкованих альтернатив.

Посилання[ред.ред. код]