Коливальний контур

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

RLC in serie circuit

Послідовний RLC-коливальний контур:

V - напруга в контурі
І - сила струму в контурі
R - резистор
L - котушка індуктивності
C - конденсатор


Коливальний контур без джерела напруги[ред.ред. код]

Коливальний контур, що складається із послідовно з'єднаних котушки індуктивністю L \ , конденсатора ємністю C \ та активного резистора R \ називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір R включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв'язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називаю LC-контуром.

В ланку коливального контура можна добавити перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис[ред.ред. код]

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від'ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в ній електрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від'ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньму напрямку - конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримуе заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульвого опору - вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання[ред.ред. код]

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контура. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називаєть квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контура записується для невідомої динамічної змінної - електричного заряду q(t) \ і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків - спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0 ,

Розв'язок цього рівняння має вигляд:

q(t) = A_0e^{-Rt/2L}\sin (\omega t + \alpha_0) ~,~~~ \omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}

де \omega - резонансна частота контура,  A_0 - амплітуда коливань,  \alpha_0 - фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

\beta = \frac{R}{2L} .

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

A = A_0e^{-Rt/2L} = A_0e^{-\beta t} \ .

Різниця потенціалів \Delta \phi \ на обкладинках конденсатора пропорційна заряду q:

\Delta \phi = \frac{q}{C} = \frac{A_0}{C}e^{-Rt/2L}\sin (\omega t + \alpha_0) \

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

I = -\frac{dq}{dt} = A_0e^{-Rt/2L}{\frac{R}{2L}\sin (\omega t + \alpha_0) \ - \omega \cos (\omega t + \alpha_0) \ } .

Якщо в початковий момент часу t = 0 \ заряд на обкладках конденсатора дорівнював q = q_0 \ , а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань \alpha_0 та їхня амплітуда дорівнюють:

\alpha_0 = \text{arctg}\;{\frac{\omega }{\beta }} = \text{arctg}\ \sqrt{\frac{4L}{CR^2} - 1}~,~~~
A_0 = \frac{q_0}{\sin \alpha_0 } = \frac{q_0}{\sqrt{1 - \frac{CR^2}{4L}}} .

Незатухаючі коливання[ред.ред. код]

Якщо опір контура зменшувати до нуля R \to \; 0 \ , тоді в LC- \ контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} ~,~~~ \alpha_0 = \frac{\pi}{2} \ .

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

q = q_0\sin (\omega_0 t + \pi/2) \
\Delta \phi = \frac{q_0}{C}\sin (\omega_0 t + \pi/2) \
I = -q_0\omega_0\cos (\omega_0 t + \pi/2) \

Період вільних незатухаючих коливань дорівнює

T = \frac{2\pi }{\omega_0} = 2\pi \sqrt{LC} (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм I(t) в контурі можна переписати у вигляді:

I = -q_0\omega_0\cos (\omega_0 t + \pi/2) \ = q_0\omega_0\sin \omega_0t \ . (13)

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на \pi/2. Амплітуда I_0 \ сили струму, та амплітуда \Delta \phi різниці потенціалів дорівнюють:

I_0 = q_0\omega_0 = q_0/\sqrt{LC} ~,~~~\Delta \phi = q_0/C \ (14b)

тому

I_0 = \Delta \phi_0\cdot \sqrt{C/L} = \Delta \phi_0/\rho~,~~~ \rho = \sqrt{\frac{L}{C}},

де величину \rho називають хвилевим опором контура.

Закон збереження енергії[ред.ред. код]

Повна енергія контура складається із суми двох енергій: енергії заряду q(t), накопиченого на ємності, W_C та магнітної енергії на індуктивності W_L:

W_{LC} = W_C + W_L= \frac{q(t)^2}{2C}+ \frac{LI(t)^2}{2}=\frac{q(t)^2}{2C}+ \frac{L}{2}\left ( \frac{dq(t)}{dt}\right )^2.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контутру

W_{C0} = \frac{C\Delta \phi_0^2}{2} = \frac{q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}=W_{L0}=W_{LC} .

Коливальні контури із джерелом напруги[ред.ред. код]

Послідовний контур[ред.ред. код]

Послідовний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Паралельний контур[ред.ред. код]

Висновки[ред.ред. код]

В класичному коливальному контурі максимальне значення заряду на обкладках конденсатора завжди визначається початковими умовами. Скільки заряду  q_0 \ посадили на ємність, стільки ж і буде брати участь в коливаннях у випадку незатухаючих коливань. У випадку затухаючих коливань, кількість заряду буде перманентно зменшуватися.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Изд. 3-е, испр. И доп., М.:Высшая школа, 1966.- 412с.
Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.