Коло дев'яти точок

Дев’ять точок

Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Така назва через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:

• Середина кожної сторони трикутника;
• Основа кожної висоти;
• Середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.

Коло дев’яти точок також відоме як коло Феєрбаха або коло Ейлера.

Доведення теореми про Коло 9 точок

Малюнок 2

Доведемо тепер, що точки — основи висот, — $H_{1},H_{2},H_{3}$, середини відрізків, що сполучають ортоцентр та вершини трикутника, — $A',B',C',$ та основи медіан — $M_{1},M_{2},M_{3}$ лежать на одному колі (рис. 2). З'єднаємо точки $M_{2}$ та $A'$ , $M_{2}$та $M_{1}$ , $M_{1}$та $B'$ , $B'$ та $A'$. Отримаємо паралелограм $M_{2}A'B'M_{1}$, тому що $A'B'$ — серединна лінія в трикутнику $ABH$, тобто відрізок $A'B'$ паралельний$AB$.  $M_{1}M_{2}$ — серединна лінія в трикутнику $ABC$, звідки випливає, що $A'B'$ паралельний $M_{1}M_{2}$. Аналогічним чином доводиться, що $A'M_{2}$ паралельний $B'M_{1}$,  але також паралельний висоті $CH_{3}$ , тоді $\angle M_{2}C'B'=90^{\circ }$, звідки випливає, що $\angle B'M_{1}M_{2}=90^{\circ }$. Тому паралелограм є прямокутником. Тепер з'єднаємо точки $M_{2}$ та $C'$,  $C'$та $B'$, $B'$та $M_{3}$, $M_{3}$та $M_{2}$. Так само отримаємо, що $M_{2}B'C'M_{3}$ — прямокутник. У цих прямокутниках дві спільні вершини, тому ці прямокутники лежать на одному колі, бо в них спільний діаметр. Ми довели, що середини відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, та основи медіан, належать одному колу. Зараз доведемо, що основи висот також належать цьому колу. $\angle A'H_{1}M_{1}=90^{\circ }$ та спирається на діаметр (бо діагоналі в прямокутниках є діаметрами кола, що описане навколо прямокутника) кола, утвореного з середин відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, і основ медіан, тобто точка $H_{1}$ лежить на колі. Аналогічним чином  можна довести, що основи висот $H_{2}$ i $H_{3}$ також належать цьому колу.

Теорема Феєрбаха

Теорема Феєрбаха стверджує, що

Коло дев'яти точок довільного трикутника дотикається до вписаного кола і всіх трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.

Ця теорема була сформульована і доведена Карлом Вільгельмом Феєрбахом в 1822-у році.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Коло дев’яти точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.