Кол-пут тотожність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У фінансовій математиці Кол-пут тотожність це формула, що задає співвідношення ціни кол опціону і ціни пут опціону (для опціонів з однаковими параметрами, ціною виконання, волатильністю, базовим активом та ін.). Для того щоб вивести кол-пут тотожність потрібно накласти умову, що опціони погашаються тільки коли закінчується їх термін дії (тобто розглядати Європейські опціони).

Виведення[ред.ред. код]

Припущення[ред.ред. код]

Як і будь-яка тоотожність, кол-пут тотожність також базується на деякий припущенях. Ці припущення стосуються ринку і по суті вимагають досить ідеального ринкового середовища. Маємо три припущення[1]:

(i) відсоткові стаки сталі і незмінні в часі як для позичальника так і для того хто позичає,
(ii) дивіденди на акції відомі і певні (за такої умови можна без обмеження загальності вважати, що дивіденди взагалі відсутні),
(iii) базовий актив (акція в даному випадку) є високоліквідним і немає ніяких торговильних бар'єрів.

Міркування[ред.ред. код]

Ми розглянемо опціон на акцію без дивідендів[примітка 1]. Нехай \mathcal{O} базовий актив (акція). Нехай T\in\mathbb{R}^{+} термін до погашення кол і пут опціонів на акцію \mathcal{O}, а K\in\mathbb{R} їх ціна виконання (Страйк), S,C,P:[0,T]\to\mathbb{R} ціни на базову акцію \mathcal{O}, кол опціон і пут опціон відповідно. Тепер розглянемо два портфоліо:

\Pi^{(1)} : 1 пут опціон + 1 акція \mathcal{O}. Вартість цього портфоліо при погашені дорівнює \Pi_{T}=\operatorname{max}\{K-S_{T},0\}+S_{T}=\operatorname{max}\{K,S_{T}\}.
\Pi^{(2)} : 1 кол опціон + K облігацій. Вартість цього портфоліо при погашені дорівнює \Pi_{T}=\operatorname{max}\{S_{T}-K,0\}+K=\operatorname{max}\{S_{T},K\}.

Отже, вартість обидвох портфоліо при погашенні однакова. Тепер, оскільки ринок завжди запобігає арбітражу (без-ризиковому прибутку) вартість цих портфоліо повинна бути однаковою в довільний момент часу до виконання. Інакше, якщо вартості потфоліо відрізняються деякий агент на ринку може купити дешевше портфоліо і продати дорожче, оскільки при погашенні вартості обидвох рівні, то така стратегія без-ризикова і до того ж приносить прибуток (різниця цін між двома портфоліо). Тому для довільного моменту часу t\in[0,T) маємо \Pi^{(2)}_{t}=\Pi^{(1)}_{t}. Тобто,

\displaystyle C(t)+K\cdot B(t;T)=P(t)+S(t) \   \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \   \  \ \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  (1)

Тут B(t;T) вартість облігації, що має бути погашений в час T. Ці міркування показують як можна отримати кол-пут тотожність в інших ситуаціях.

Кол-пут тотожність для Американських опціонів[ред.ред. код]

Для Американських опціонів, коли опціон може бути виконаний у будь-який момент часу до дозрівання, ми маємо підкорегувати вартість облігації B(t, T) в рівнянні (1). Кол-пут тотожність справедлива тільки для Європейських опціонів або для опціонів Американського типу якщо їх не виконують завчасно.

 C + \textbf{PV}(K) = P + S_0

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Якщо акція виплачує дивіденди, то вони мають бути враховані в B(t;T), бо зазвичай ціни опціонів не враховують дивідендів. Якщо відсоткова ставка (або в неперервному випадку сила відсотка) є стала r, тоді B(t,T)=\exp(-r(T-t)).