Кол-пут тотожність

У фінансовій математиці Кол-пут тотожність це формула, що задає співвідношення ціни кол опціону і ціни пут опціону (для опціонів з однаковими параметрами, ціною виконання, волатильністю, базовим активом та ін.). Для того щоб вивести кол-пут тотожність потрібно накласти умову, що опціони погашаються тільки коли закінчується їх термін дії (тобто розглядати Європейські опціони).

Виведення

Припущення

Як і будь-яка тоотожність, кол-пут тотожність також базується на деякий припущенях. Ці припущення стосуються ринку і по суті вимагають досить ідеального ринкового середовища. Маємо три припущення:

(i) відсоткові стаки сталі і незмінні в часі як для позичальника так і для того хто позичає,
(ii) дивіденди на акції відомі і певні (за такої умови можна без обмеження загальності вважати, що дивіденди взагалі відсутні),
(iii) базовий актив (акція в даному випадку) є високоліквідним і немає ніяких торговильних бар'єрів.

Міркування

Ми розглянемо опціон на акцію без дивідендів. Нехай $\mathcal{O}$ базовий актив (акція). Нехай $T\in\mathbb{R}^{+}$ термін до погашення кол і пут опціонів на акцію $\mathcal{O}$, а $K\in\mathbb{R}$ їх ціна виконання (Страйк), $S,C,P:[0,T]\to\mathbb{R}$ ціни на базову акцію $\mathcal{O}$, кол опціон і пут опціон відповідно. Тепер розглянемо два портфоліо:

$\Pi^{(1)}$: 1 пут опціон + 1 акція $\mathcal{O}$. Вартість цього портфоліо при погашені дорівнює $\Pi_{T}=\operatorname{max}\{K-S_{T},0\}+S_{T}=\operatorname{max}\{K,S_{T}\}$.

$\Pi^{(2)}$: 1 кол опціон + $K$ облігацій. Вартість цього портфоліо при погашені дорівнює $\Pi_{T}=\operatorname{max}\{S_{T}-K,0\}+K=\operatorname{max}\{S_{T},K\}$.

Отже, вартість обидвох портфоліо при погашенні однакова. Тепер, оскільки ринок завжди запобігає арбітражу (без-ризиковому прибутку) вартість цих портфоліо повинна бути однаковою в довільний момент часу до виконання. Інакше, якщо вартості потфоліо відрізняються деякий агент на ринку може купити дешевше портфоліо і продати дорожче, оскільки при погашенні вартості обидвох рівні, то така стратегія без-ризикова і до того ж приносить прибуток (різниця цін між двома портфоліо). Тому для довільного моменту часу $t\in[0,T)$ маємо $\Pi^{(2)}_{t}=\Pi^{(1)}_{t}$. Тобто,

$\displaystyle C(t)+K\cdot B(t;T)=P(t)+S(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Тут $B(t;T)$ вартість облігації, що має бути погашений в час $T$. Ці міркування показують як можна отримати кол-пут тотожність в інших ситуаціях.

Кол-пут тотожність для Американських опціонів

Для Американських опціонів, коли опціон може бути виконаний у будь-який момент часу до дозрівання, ми маємо підкорегувати вартість облігації $B(t, T)$ в рівнянні (1). Кол-пут тотожність справедлива тільки для Європейських опціонів або для опціонів Американського типу якщо їх не виконують завчасно.

$C + \textbf{PV}(K) = P + S_0$

Див. також

• Опціон