Комп'ютер для операцій з функціями

Комп'ютер для операцій з математичними функціями (на відміну від звичайного комп'ютера) оперує з функціями на апаратному рівні (тобто без програмування цих операцій).

Історія

Обчислювальна машина для операцій з функціями була запропонована і розроблена Карцевим в 1967 році. У число операцій цієї обчислювальної машини входили додавання, віднімання і множення функцій, порівняння функцій, аналогічні операції над функцією і числом, відшукання максимуму функцій, обчислення невизначеного інтеграла, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій, зсув функції з абсциси і т. д. За архітектурою ця обчислювальна машина була (користуючись сучасною термінологією) векторним процесором. У ній використовувався той факт, що багато з цих операцій можуть бути витлумачені як відомі операції над векторами: додавання і віднімання функцій — як додавання і віднімання векторів, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій — як обчислення скалярного добутку двох векторів, зсув функцій з абсциси — як поворот вектора щодо осей координат і т. д. У 1966 році Хмєльник запропонував метод кодування функцій , тобто представлення функції єдиним (для функції в цілому) позиційним кодом. При цьому зазначені операції з функціями виконуються як унікальні машинні операції з такими кодами на єдиному арифметичному пристрої

Позиційні коди функцій одного аргументу

Основна ідея

Позиційний код цілого числа $A$ являє собою запис цифр $\alpha$ цього числа в деякій позиційній системі числення, що має вигляд

$A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}$

Такий код можна назвати лінійним. На відміну від нього позиційний код функції $F(x)$ одного аргументу $x$ має вигляд

$F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}$

тобто є плоским і трикутним, оскільки цифри в ньому утворюють трикутник.

Вказаному позиційному коду цілого числа відповідає сума виду

$A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}$,.

де $\rho$ — підстава даної системи числення. Вказаному позиційному коду функції одного аргументу відповідає подвійна сума виду

$F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}$,

де $R$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри $\alpha$, $y$ — певна функція аргументу $x$.

Додавання позиційних кодів чисел пов'язане з передачею перенесення в старший розряд за схемою

$\alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}$.

Додавання позиційних кодів функцій одного аргументу також пов'язане з передачею перенесення за схемою

${\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}$.

При цьому одне і теж перенесення передається одночасно в два старших розряди.

R-ті трикутні коди

Трикутний код називається R-м (і позначається як $TK_{R}$), якщо числа $\alpha _{mk}$ приймають значення з множини

$D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\},$ де $r_{1},\;r_{2}\geq 0$ и $R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1$.

Наприклад, трикутний код є потрійним $TK_{3}$, якщо $\alpha _{mk}\in (-1,0,1)$, і — четверичним $TK_{4}$, якщо $\alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)$.

Для R-х трикутних кодів справедливі наступні рівності:

${\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}$,

де a — будь-яке число. існує $TK_{R}$ будь-якого цілого дійсного числа. Зокрема, $TK_{R}(\alpha )=\alpha$. Також існує $TK_{R}$ любої функції виду $y^{k}$. Зокрема, $TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)$.

Однорозрядне складання

У R-х трикутних кодах полягає в тому, що

• у даному $(mk)$-розряді визначається сума $S_{mk}^{}$ складових розрядів $\alpha _{mk},\ \beta _{mk}$ і двох перенесень $p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}$, що поступили в цей розряд ліворуч, тобто

$S_{mk}^{}=\alpha _{mk}\beta _{mk}p_{m,k-1}p_{m-1,k-1}$,

• ця сума представляється у вигляді $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}Rp_{mk}$, де $\sigma _{mk}\in D_{R}$,
• $\sigma _{mk}$ записується в $(mk)$-розряд сумарного коду, а перенесення $p_{mk}$ з цього розряду передається в $(m,k1)$-разряд і $(m1,k1)$-розряд.

Ця процедура описується(як і при однорозрядному складанні чисел) таблицею однорозрядного складання, де мають бути присутніми усі значення доданків $\alpha _{mk}\in D_{R}$ і $\beta _{mk}\in D_{R}$ і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}Rp_{mk}$. Така таблиця може бути синтезована при $R>2.$

Нижче приведена таблиця однорозрядного складання при $R=3$:

Smk	TK(Smk)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Однорозрядне віднімання

у R-х трикутних кодах відрізняється від однорозрядного складання тільки тим, що в даному $(mk)$-розряді величина $S_{mk}^{}$ визначається по формулі

$S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}p_{m,k-1}p_{m-1,k-1}$.

Однорозрядне ділення на параметр R

у R-х трикутних кодах ґрунтовано на використанні співвідношення

${\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}$,

звідки витікає, що ділення кожного розряду викликає перенесення в два нижні розряди. Отже, розрядний результат в цій операції є сумою частки від ділення цього розряду на R і перенесень з двох верхніх розрядів. Таким чином, при діленні на параметр R

• у даному $(mk)$-розряді визначається сума

$S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m1,k}/Rp_{m1,k1}$,

• ця сума представляється у вигляді $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}p_{mk}/R$, де $\sigma _{mk}\in D_{R}$,
• $\sigma _{mk}$ записується в $(mk)$-розряд результуючого коду, а перенесення $p_{mk}$ з цього розряду передається в $(m-1,k-1)$-разряд і $(m-1,k)$-розряд.

Ця процедура описується таблицею однорозрядного ділення на параметр R, де мають бути присутніми усі значення доданків і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}$. Така таблиця може бути синтезована при $R>2.$

Ниже приведена таблица одноразрядного ділення на параметр R при $R=3$:

Smk	TK(Smk)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Складання і віднімання

R-х трикутних кодів полягає(як і в позиційних кодах чисел) в послідовно виконуваних однорозрядних операціях. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного стовпця виконуються одночасно.

Множення

R-х трикутних кодів. Множення деякого коду $TK_{R}'^{}$ на $(mk)$-розряд іншого коду $TK_{R}''^{}$ полягає в $(mk)$-зміщенні коду $TK_{R}'^{}$, тобто зрушенні його на k стовпців вліво і на m рядків вгору. Множення кодів $TK_{R}'^{}$ і $TK_{R}''^{}$ полягає в послідовних $(mk)$-зміщеннях коду $TK_{R}'^{}$ і складаннях зрушеного коду $TK_{R}'^{}$ з частковим твором(як і в позиційних кодах чисел).

Диференціювання

R-х трикутних кодів. Похідна функції $F(x)$, визначеною вище

${\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$.

Тому диференціювання трикутних кодів функції $F(x)$ полягає у визначенні трикутного коду приватною похідною ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ і множенні його на відомий трикутний код похідної ${\frac {\partial y}{\partial x}}$. Визначення трикутного коду приватною похідною ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ ґрунтовано на співвідношенні

${\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}$.

Спосіб диференціювання полягає в організації перенесень з mk- розряду в(m 1, k) -розряд і в(m — 1, k) -розряд, а їх підсумовування в цьому розряді робиться аналогічно однорозрядному складанню.

Кодування і декодування

R-х трикутних кодів. Функція, представлена рядом виду

$F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}$,

з цілими коефіцієнтами $A_{k}$, може бути представлена R-м трикутним кодом, оскільки ці коефіцієнти і функції $y^{k}$ мають R-ті трикутні коди(про що сказано на початку розділу). З іншого боку, R-й трикутний код може бути представлений вказаним рядом, оскільки будь-який доданок $\alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}$ у позиційному розкладанні функції(що відповідає цьому коду) може бути представлено таким же рядом.

Укорочення

R-х трикутних кодів. Так називається операція зменшення числа не нульових стовпців. Необхідність укорочення виникає при виникненні перенесень за розрядну сітку. Укорочення полягає в діленні на параметр R. При цьому усі коефіцієнти уявного кодом ряду зменшуються в R разів, а дробові частини цих коефіцієнтів відкидаються. Зникає також старший член ряду. Таке скорочення допустиме, якщо відомо, що ряди функцій сходяться. Укорочення полягає в послідовно виконуваних однорозрядних операціях ділення на параметр R. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного рядка виконуються одночасно, а перенесення з молодшого рядка відкидаються.

Масштабний коефіцієнт

R-й трикутний код супроводжується масштабним коефіцієнтом M, аналогічним порядку в числі з рухомою комою. Коефіцієнт M дозволяє представити усі коефіцієнти кодованого ряду у вигляді цілих чисел. Коефіцієнт M множиться на R при укороченні коду. При складанні коефіцієнти M вирівнюються, для чого необхідно укорочувати один із складових кодів. При множенні коефіцієнти M також множаться.

Позиційні коди функцій багатьох аргументів

Мал. 2 Пірамідальний код функції двох аргументів

Позиційний код функції двох аргументів зображений на мал. 1. Йому відповідає потрійна сума виду

$F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}$,

де $R$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри $\alpha _{m1,m2,k}$, а $y(x),~z(v)$ — певні функції аргументів $x,~v$ відповідно. На мал. 1 вузли відповідають цифрам $\alpha _{m1,m2,k}$, а в кухлях показані значення індексів ${m1,m2,k}$ відповідної цифри. Позиційний код функції двох аргументів називається пірамідальним. Позиційний код називається R-м(і позначається як $PK_{R}$), якщо числа $\alpha _{m1,m2,k}$ набувають значень з множини $D_{R}$. При складанні кодів $PK_{R}$ перенесення поширюється в чотири розряди і тому $R\geq 7$.

Позиційному коду функції декількох аргументів відповідає сума виду

$F(x1\ldots ,x_{i}\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m1\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))$,

Файл:GipPirKod.jpg

Мал. 1 Гіперпірамідальний код функції трьох аргументів

де $R$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри $\alpha _{m1\ldots ,m_{a},k}$, а $y_{i}(x_{i})$ — певні функції аргументів $x_{i}$. Позиційний код функції декількох аргументів називається гіперпірамідальним. На мал. 2 показаний для прикладу позиційний гіперпірамідальний код функції трьох аргументів. У нім вузли відповідають цифрам $\alpha _{m1,m2,m3,k}$, а в кухлях показані значення індексів ${m1,m2,m3,k}$ відповідної цифри. Позиційний гіперпірамідальний код називається R-м(і позначається як $GPK_{R}$), якщо числа $\alpha _{m1\ldots ,m_{a},k}$ набувають значень з множини $D_{R}$. При складанні кодів $GPK_{R}$ перенесення поширюється в a-мерный куб, що містить $2^{a}$ розрядів і тому $R\geq (2^{a-1}-1)$.