Компактифікація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.

Формально компактифікація простору X визначається як пара (Y,\;f), де Y — компактний простір, f:X \to Yгомеоморфізм на свій образ f(X) і f(X) — щільний у Y.

На компактифікаціях деякого фіксованого простору X можна визначити частковий порядок. Покладемо f_1 \leqslant f_2 для двох компактифікацій f_1: X \to Y_1, f_2: X \to Y_2, якщо існує неперервне відображення g: Y_2 \to Y_1 таке, що g f_2 = f_1. Максимальний (із точністю до гомеоморфізму) елемент за цього порядку називається компактифікацією Стоуна — Чеха[1] і позначається \beta X. Для того, щоб у просторі X існувала компактифікація Стоуна — Чеха, яка задовольняла б аксіомі віддільності Хаусдорфа, необхідно і достатньо, щоб X задовольняв аксіомі віддільності T_{3\frac{1}{2}}, тобто був цілком регулярним.

Одноточкова компактифікація (або компактифікація Александрова) побудована наступним чином. Нехай Y=X \cup \{\infty\} і відкритими множинами в Y вважаються всі відкриті множини X, а також множини вигляду O \cup \{\infty\}, де O \subseteq X має компактне (у X) доповнення. f береться як природне вкладення X в Y. Тоді (Y,\; f) — компактифікація, причому Y гаусдорфів тоді і тільки тоді, коли Xгаусдорфів і локально компактний.

Приклади одноточкової компактифікації[ред.ред. код]

\R \cup \{\infty\} з топологією, побудованою як зазначено вище, є компактним простором. Якщо два простори гомеоморфні, то й відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфні[Джерело?]. Зокрема, так як коло на площині без однієї точки гомеоморфне з \R (приклад гомеоморфізму — стереографічна проекція), усе коло гомеоморфне з \R \cup \{\infty\}. Аналогічно, \mathbb R^n \cup \{\infty\} гомеоморфне з n-вимірною гіперсферою.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Також «стоун-чехівська компактифікація» и «чех-стоунова компактифікація».

Див. також[ред.ред. код]