Компактифікація

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.

Формально компактифікація простору $X$ визначається як пара $(Y,\;f)$, де $Y$ — компактний простір, $f:X \to Y$ — гомеоморфізм на свій образ $f(X)$ і $f(X)$ — щільний у $Y$.

На компактифікаціях деякого фіксованого простору $X$ можна визначити частковий порядок. Покладемо $f_1 \leqslant f_2$ для двох компактифікацій $f_1: X \to Y_1$, $f_2: X \to Y_2$, якщо існує неперервне відображення $g: Y_2 \to Y_1$ таке, що $g f_2 = f_1$. Максимальний (із точністю до гомеоморфізму) елемент за цього порядку називається компактифікацією Стоуна — Чеха і позначається $\beta X$. Для того, щоб у просторі $X$ існувала компактифікація Стоуна — Чеха, яка задовольняла б аксіомі віддільності Хаусдорфа, необхідно і достатньо, щоб $X$ задовольняв аксіомі віддільності $T_{3\frac{1}{2}}$, тобто був цілком регулярним.

Одноточкова компактифікація (або компактифікація Александрова) побудована наступним чином. Нехай $Y=X \cup \{\infty\}$ і відкритими множинами в $Y$ вважаються всі відкриті множини $X$, а також множини вигляду $O \cup \{\infty\}$, де $O \subseteq X$ має компактне (у $X$) доповнення. $f$ береться як природне вкладення $X$ в $Y$. Тоді $(Y,\; f)$ — компактифікація, причому $Y$ гаусдорфів тоді і тільки тоді, коли $X$ — гаусдорфів і локально компактний.

Приклади одноточкової компактифікації

$\R \cup \{\infty\}$ з топологією, побудованою як зазначено вище, є компактним простором. Якщо два простори гомеоморфні, то й відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфні^{[Джерело?]}. Зокрема, так як коло на площині без однієї точки гомеоморфне з $\R$ (приклад гомеоморфізму — стереографічна проекція), усе коло гомеоморфне з $\R \cup \{\infty\}$. Аналогічно, $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ гомеоморфне з $n$-вимірною гіперсферою.

Див. також

• Проективна геометрія