Компактифікація Стоуна — Чеха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Компактифікація Стоуна - Чеха (також стоун-чехівська або чех-стоунова компактифікація) - максимальна компактифікація цілком регулярного топологічного простору.

Компактифікація Стоуна - Чеха простору X зазвичай позначається як \beta X.

Конструкція[ред.ред. код]

Позначимо через A множину всіх неперервних функцій \alpha\colon X\to [0,1]. Можна перевірити, що відображення F:X\to [0,1]^A (тихонівський куб), визначене рівністю

x\mapsto (\alpha(x))_{\alpha\in A},

є гомеоморфізмом X на свій образ F(X)\subset [0,1]^A. Замикання F(X) у [0,1]^A і буде шуканою компактифікацією.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яка неперервна функція f\colon X\to I=[0,1] продовжується до неперервної функції \tilde f\colon \beta X\to I.
  • Будь-яке неперервне відображення f\colon X\to Y у компактний гаусдорфів простір Y продовжується до неперервного відображення \tilde f\colon \beta X\to Y.

Історія[ред.ред. код]

Конструкція компактифікації Стоуна — Чеха, була вперше розглянута Тихоновим.