Комплексна площина

Комплексна площина $\C$ — множина впорядкованих пар $(x,y)$, де $\ x,y\in\R$. Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел $\C$ за принципом $\ (x,y)\equiv x+iy$. Це дозволяє ввести алгебраїчні операції на площині $\C$. Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою $\ z=(x,y)$ і комплексним числом $\ z=x+iy$.

Топологія комплексної площини

Відкриті множини

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом ${\mathcal U}_{z_0}$ точки $z_0\in\C$ називається множина виду ${\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0$. Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядат і проколоті околи $\dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}$.

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина

Точка $z_0\in\C$ буде точкою згущення для множини $G\subset\C$, якщо для довільного околу ${\mathcal U}_{z_0}$ перетин ${\mathcal U}_{z_0}\cap G$ буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина $G\subset\C$ буде називатися замкнутою, якщо для неї справедлим є включення $G'\subset G$. Очевидно, що для довільної множини $G$ множина $\overline{G}=G\cup G'$ буде замкненою; вона називається замиканням множини $G$.

Границя

Точка $z_0\in\C$ буде називатися граничною для множини $G\subset\mathbb C$, якщо для довільного околу ${\mathcal U}_{z_0}$ перетин ${\mathcal U}_{z_0}\cap G$ і ${\mathcal U}_{z_0}\cap({\C}\setminus G)$ будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною $\partial G$ або просто границею.

Всюди щільні множини

Множина $E\subset\C$ буде називатися всюди щільною в іншій множині $G\subset\C$, якщо для довільної точки $z_0\in G$ і будь якого околу ${\mathcal U}_{z_0}$ перетин ${\mathcal U}_{z_0}\cap E$ не порожній.

Зв'язність

Відстань між множинами

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань мід двома точками дорівнює модулю їх різинці. Тепер визначимо відстань між точкою $z_0$ і деякою множиною $G\subset\C$ як величину $\mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|$.

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в $\C$: $\mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1)$.

Зв'язність

Множина $G\subset\C$ називаєтсья Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення $\inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0$. Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язна множину $G$ можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) $\sum G_n$, де $G_n$ — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'зними компонентами множини $G$. Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини

Множина $G\subset\C$ називається спряженою відносно точки $z_0\in G$, якщо для довільної точки $z\in G$ виконується включення $\overline{z_0z}\subset G$.

Множина $G\subset\C$ називаєтсья випуклою, якщо вона спряжена відносно будь якої своєї точки. Множина $G^*$ називається випуклою оболонкою множини $G$, якщо вона випукла, $G\subset G^*$ і для будь якої випуклої множини $G^{**}$, що містить множину $G$ виконується включення $G^*\subset G^{**}$.

Ламаною' $\Gamma$ називається множина множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина $G$ називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок $z_1,z_2\in G$ існує ламана $\Gamma\subset G$ така, что виконується $z_1,z_2\in\Gamma$.

Можно довести, що будь-яка лінійно связана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Криві на $\C$

Криві и шляхи

Кривою або шляхом на комплексній площині $\mathbb C$ називається відображення вигляду $\varphi(t)\colon[0;1]\to\C$. Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції $\varphi(t)$, але й її напрямок. Наприклад, функції $\varphi(t)$ і $\eta(t)=\varphi(1-t)$ будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих

Криві $\varphi_0(t)\colon[0;1]\to\C$ и $\varphi_1(t)\colon[0;1]\to\C$ називаються гомотопними, якщо існує крива $\xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\C$, що залежить від параметру $q$ таким чином, що $\xi(t,0)\equiv\varphi_0$ і $\xi(t,1)\equiv\varphi_1$.

Див. також

• Словник термінів загальної топології