Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Геометричне представлення
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами ) називаються два комплексні числа , які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини[1]
z
{\displaystyle z\!}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
z
=
a
+
i
b
,
{\displaystyle z=a+ib,\,}
де
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
дійсні числа , є
z
¯
=
a
−
i
b
.
{\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}
Наприклад,
(
3
−
2
i
)
¯
=
3
+
2
i
{\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}
7
¯
=
7
{\displaystyle {\overline {7}}=7}
i
¯
=
−
i
.
{\displaystyle {\overline {i}}=-i.}
На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд
r
e
i
ϕ
{\displaystyle re^{i\phi }}
r
e
−
i
ϕ
{\displaystyle re^{-i\phi }}
формули Ейлера .
Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.
Для довільних комплексних чисел
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
(
z
±
w
)
¯
=
z
¯
±
w
¯
{\displaystyle {\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}\!\ }
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }
z
¯
=
z
⇔
z
{\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}
z
n
¯
=
z
¯
n
{\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}
n
{\displaystyle n}
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}
|
z
|
2
=
z
z
¯
=
z
¯
z
{\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }
інволюцією )
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
2
{\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}
z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.Якщо
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
голоморфною функцією , звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено
ϕ
(
z
)
{\displaystyle \phi (z)\,}
ϕ
(
z
¯
)
=
ϕ
(
z
)
¯
.
{\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}.\,\!}
Зокрема:
exp
(
z
¯
)
=
exp
(
z
)
¯
{\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}
log
(
z
¯
)
=
log
(
z
)
¯
{\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!}
z не дорівнює нулю.Якщо
p
{\displaystyle p}
поліном з дійсними коефіцієнтами і
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0\!\,}
p
(
z
¯
)
=
0
{\displaystyle p({\overline {z}})=0}
корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари. Визначення координат числа та спряження [ ред. | ред. код ] Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:
x
=
Re
(
z
)
=
(
z
+
z
¯
)
/
2
{\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}
y
=
Im
(
z
)
=
(
z
−
z
¯
)
/
2
i
{\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}
ρ
=
|
z
|
=
z
⋅
z
¯
{\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}
e
i
θ
=
z
/
|
z
|
=
e
i
arg
z
=
z
/
z
¯
{\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}
z не дорівнює нулю).
