Комплексні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

1 Дефініція
2 Арифметичні дії та інші операції
- 2.1 Зв'язані визначення
- 2.2 Спряжені числа
3 Представлення комплексних чисел
- 3.1 Геометричне представлення
- 3.2 Матричне представлення комплексних чисел
4 Історія

[ред.] Дефініція

Ко́мпле́ксні чи́сла (обидва варіанти наголосу вважаються нормою і кожен з них достатньо поширений серед математиків) — об'єкти, що утворюють поле, яке є розширенням поля дійсних чисел і позначається $\mathbb{C}$ . Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності та комутативності додавання та множення, а також дистрибутивності множення відносно додавання.

Найбільш поширеним є запис комплексних чисел у вигляді виразів

$z=a+bi\,$ ,

де $a,b\,$ — дійсні числа, причому $a\,$ називається дійсною, а $b\,$ - уявною частиною числа $z\,$ ; ці частини позначаються відповідно $Re(z)\,$ та $Im(z)\,$ . Число $-a-bi\,$ є протилежним до $z=a+bi\,$ у структурі даного поля і позначається $-z\,$ ; число $a-bi\,$ називається спряженим до $z=a+bi\,$ і позначається $\overline z\,$ . Символом $i\,$ позначається уявна одиниця, для якої виконується рівність

$i\cdot i=i^2=-1\,$ .

Комплексне число $z=a+bi\,$ можна зобразити точкою площини з координатами $(a,b)\,$ . Кожне комплексне число виду $a+0i\,$ ототожнюється з дійсним числом $a\,$ . Наведеної інформації достатньо для однозначного визначення всіх арифметичних дій над комплексними числами, причому для практичного виконання ділення слід домножити чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника (детально це розписано в розділі "Арифметичні дії").

Впровадження комплексних чисел спрощує чимало математичних теорій. Наприклад, згідно з основною теоремою алгебри, будь-який поліном з дійсними або комплексними коефіцієнтами має комплексний корінь; інакше кажучи, поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим. Частинним випадком цього явища є той факт, що з довільного комплексного числа існує комплексний корінь довільного натурального степеня; при цьому кількість таких коренів з даного числа дорівнює степеню цього кореня (якщо число не рівне 0). Комплексні числа утворюють природне середовище для визначення та дослідження багатьох математичних функцій, наприклад, поліномів, експонент, логарифмів. Основні поняття математичного аналізу, такі як збіжність, границя, неперервність, похідна, первісна, поширюються на випадок комплексних послідовностей і функцій комплексної змінної. Функції комплексної змінної багато в чому поводять себе красивіше за функції дійсної змінної; наприклад, якщо функція комплексної змінної має (першу) похідну в деякій області площини, то вона в цій області автоматично має похідні всіх порядків. Виявляється, що в разі використання комплексної змінної основні тригонометричні функції стають щільно пов'язані з експонентою. Не буде перебільшенням ствердити, що сучасна математика та природничі науки не можуть обходитися без комплексних чисел.

[ред.] Арифметичні дії та інші операції

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності $i^2= -1\,$ . Нехай $z_1=a+bi\,$ та $z_2=c+di\,$ - комплексні числа. Тоді:

$z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,$
$z_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\,$
$z_1 z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i\,$
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

Для комплексних чисел певним чином визначають також інші операції, наприклад, піднесення до довільного комплексного степеня, логарифмування, знаходження синуса, косинуса тощо. Деякі з цих операцій не є однозначними і ведуть до розгляду багатозначних функцій, які взагалі часто виникають при вивченні функцій комплексної змінної. Теорію про функції комплексної змінної часто називають комплексним аналізом). Одним зі способів означення елементарних функцій комплексної змінної є задання такої функції як суми степеневого ряду, в який можна розкласти аналогічну функцію дійсної змінної (див. Ряд Тейлора).

[ред.] Зв'язані визначення

Нехай $~x$ і $~y$ суть дійсні числа, такі, що комплексне число $~z=x+iy$ (звичайні позначення). Тоді

Числа і називаються відповідно дійсною (Real) і уявною (Imaginary) частинами .
- Якщо $~x=0$ , то $~z$ називається уявним або чисто уявним.
Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ називається модулем числа $~z$ . Для дійсного числа модуль співпадає з його абсолютною величиною. Деякі властивості модуля:

$| z | \geqslant 0 \,$ , причому $| z | = 0 \,$ тоді і тільки тоді, коли $z = 0 \,$

$| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \,$ (нерівність трикутника)

$| z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,$

$| z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,$
Кут $\varphi$ такий, що: $\cos \varphi = \frac {x} {|z|}$ і $\sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~$ , називається аргументом $~z$ . Для комплексного нуля значення аргумента не визначене, для ненульового числа $~z$ аргумент визначається з точністю до $2 k π$ , де $k$ — будь-яке ціле число.

[ред.] Спряжені числа

Якщо комплексне число $~z=x+iy$ , то число $~\bar z=x-iy$ називається спряженим (або комплексно спряженим) до $~z$ .

Перехід до спряженого числа можна розглядати як одномісну операцію; перерахуємо її властивості.

$\bar \bar z = z$ (спряжене до спряженого є початкове)
$z \cdot \bar z = |z|^2$
$\overline {z_1 \pm z_2} = \bar {z_1} \pm \bar {z_2}$
$\overline {z_1 \cdot z_2} = \bar z_1 \cdot \bar z_2$
$\overline {z_1 / z_2} = \bar z_1 / \bar z_2$

Узагальнення: $\overline {p(z)} = p(\bar z)$ , де $p (z)$ — довільний комплексний многочлен.

$|\bar{z}| = |z|$ (модуль спряженого числа такий же, як у вихідного)
$\operatorname{Re}\ z=\frac {z+\bar z}{2}; \quad \operatorname{Im}\ z=\frac {z-\bar z}{2i}$

[ред.] Представлення комплексних чисел

[ред.] Геометричне представлення

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Як уже було сказано вище, комплексне число можна ототожнити з точкою площини. Крім того, його можна ототожнити з геометричним вектором, початок якого знаходиться в початку координат, а кінець - у даній точці. З геометричною інтерпретацією тісно пов'язана так звана тригонометрична форма комплексного числа (на відміну від вище поданої форми $z=a+bi\,$ , яку називають алгебраїчною): $z=r(\cos \varphi+i\cdot\sin \varphi)$ , де $r\,$ і $\varphi$ - дійсні числа, причому $r\,$ додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0, причому виявляється, що $r\,$ (називається модулем числа $z\,$ ) — це відстань між точкою $(a,b)\,$ та початком координат, а кут $\varphi$ (називається аргументом числа $z\,$ ) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком "мінус"). Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої можна користуватися такими формулами:

$r=\sqrt{a^2+b^2}\,$ ,

$\cos\varphi=\frac{a}{r}$ ,

$\sin\varphi=\frac{b}{r}$ ,

$\text{tg}\;\varphi=\frac{b}{a}$ ;

$a=r \cos\varphi$ ,

$b=r \sin\varphi$ .

Подання числа у тригонометричній формі єдине з точністю до цілої кількості повних обертів, які можна додавати до аргументу.

З використанням операції піднесення до комплексного степеня та формули Ейлера можна переписати тригонометричну форму так:

$z=r e^{i\varphi}$ .

Геометричне представлення зручне для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання та віднімання комплексних чисел рівносильне відповідно додаванню та відніманню відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При піднесенні комплексного числа до цілого степеня його модуль підноситься по цього ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня; це правило називається формулою Муавра і значно спрощує виконання піднесення комплексних чисел до великих степенів.

[ред.] Матричне представлення комплексних чисел

Кожному комплексному числу $a+bi\,$ (з дійсними $a\,$ та $b\,$ ) можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2-го порядку виду $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ . Така відповідність задає ізоморфізм між системою комплексних чисел і системою матриць такого виду, якщо додаванню, відніманню та множенню комплексних чисел поставити у відповідність звичайні додавання, віднімання та множення матриць. Легко бачити, що в цьому представлені операції комплексного спряження відповідає транспонування матриці. Дійсна одиниця представляється як одинична матриця $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , а уявна одиниця - як $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Неважко прослідкувати, що справді вищезгадані арифметичні дії дають відповідні результати при виконанні їх над числами та над відповідними матрицями (що й доводить ізоморфність цих структур):

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix}$ , що відповідає дії $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,$ .
$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix}$ , що відповідає дії $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\,$ .

[ред.] Історія

Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці «Велике мистецтво, або про правила» алгебри Кардано (1545), який однак, визнав їх непридатними до вживання. Користь уявних величин, зокрема, при рішенні кубічного рівняння, в так званому випадку, коли лійсне коріння многочлена виражається через кубічне коріння з уявних величин, що не приводиться, вперше оцінив Бомбеллі (1572). Вирази вигляду $a+b\sqrt{-1}$ , що з'являються при рішенні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» в XVI-XVII століттях, проте навіть для багатьох значних учених XVII століття алгебраїчна і геометрична сутність уявних величин представлялася неясною. Лейбніц, наприклад, писав: «Дух божий знайшов якнайтоншу віддушину в цьому диві аналізу, виродку з світу ідей, подвійній суті, що знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з від'ємної одиниці».

Довгий час було неясно, чи всі операції над комплексними числами приводять до комплексних результатів, або, наприклад, витягання кореня може привести до відкриття якогось нового типу чисел. Задача про вираз коріння ступеню n з даного числа була вирішена в роботах Муавра (1707) і Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ запропонував Ейлер (1777, опубл. 1794), що узяв для цього першу букву слова лат. imaginarius. Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область. Ейлер також висловив в 1751 році думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов д'Аламбер (1747), але перший строгий доказ цього факту належить Гаусу (1799). Гаус і ввів в широке вжиток термін «комплексне число» в 1831 році, хоча цей термін раніше використовував в тому ж смислі французького математика Лазар Карно в 1803 році.

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними з'явилося вперше в роботі Каспара Весселя (1799). Перші кроки в цьому напрямі були зроблені Валлісом (Англія) в 1685 році. Сучасне геометричне представлення, іноді зване «діаграмою Аргана», увійшло до вжитку після публікації в 1806-му і 1814-му роках роботи Аргана, що повторювала незалежно висновки Весселя.

Арифметична модель комплексних чисел як пара дійсних чисел була побудована Гамільтоном (1837); це довело несуперечність їхніх властивостей. Гамільтон запропонував і узагальнення комплексних чисел — кватерніони, алгебра яких некомутативна.

Статті з математики, пов'язані з числами

Комплексні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Дефініція

[ред.] Арифметичні дії та інші операції

[ред.] Зв'язані визначення

[ред.] Спряжені числа

[ред.] Представлення комплексних чисел

[ред.] Геометричне представлення

[ред.] Матричне представлення комплексних чисел

[ред.] Історія

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами