Континуум-гіпотеза
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У 1877 році Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звану конти́нуум-гіпо́тезу, яку можна сформулювати таким чином:
- Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.
Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.
У 1940 році Курт Гедель довів в припущенні несуперечності системи аксіом Цермело-Френкеля (ZF), що, виходячи з аксіом теорії множин разом з аксіомою вибору, континуум-гіпотезу не можна спростувати; а в 1963 році американський математик Пол Коен довів (також в припущенні несуперечності ZF), що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом. Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZF.
Розділення по запереченню або підтвердженню континуум-гипотези привело до створення так званої канторівської теорії множин, яка вважає, що потужність множини дійсних чисел або континууму 
дорівнює 
і неканторовської теорії множин, в якій це твердження неправильне. В останньому випадку можна довести, що між c і поміщено нескінченно багато кардинальних чисел.
Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S не існує таких множин, кардинальне число яких більше, ніж у S, але менше, ніж у множини всіх його підмножин 2S.
Узагальнена континуум-гіпотеза також не протирічить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як показали Серпінський в 1947 р. і Шпеккер у 1952 р., з неї виходить аксіома вибору.
