Конічні перетини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Conic sections 2.png

Конічні перерізи — невироджені криві, утворені перетином площини з однією або обома частинами конуса. Перетин площини, перпендикулярній осі конуса, утворює коло. Перетин площини, не перпендикулярній осі конуса, з однією з частин конуса утворює еліпс або параболу. Крива, отримана перетином площини з обома частинами конуса називається гіперболою. Також існують вироджені перетини: точка, пряма та пара прямих.

Властивості[ред.ред. код]

Конічні перерізи можуть утворюватись внаслідок перетину двобічного конуса площиною

a^2 z^2 = x^2 + y^2 Декартових координатах)

Де

 a = \operatorname{tg} \theta
 \theta  — кут між твірною конуса та його віссю.

Якщо площина проходить через початок координат, то виходить вироджений перетин.

Рівняння конуса квадратичне, тому конічні перетини є квадриками, також всі квадрики площини є конічними перетинами (хоча дві паралельні прямі утворюють вирождену квадрику яку неможливо отримати перетином конуса, їх вважають «виродженим конічним перетином»).

Через довільні п'ять точок на площині, з яких жодні три не лежать на одній прямій, можна провести єдиний конічний перетин.

Ексцентриситет[ред.ред. код]

Докладніше: Ексцентриситет
Еліпс (e= 1 / 2) , парабола (e= 1) та гіпербола (e= 2) з фіксованими фокусом F та директрисою.

Всі невироджені конічні перетини, за винятком кола, можна описати наступним способом:

Виберімо на площині точку F, пряму d і задаймо дійсне число e > 0. Тоді геометричне місце точок, для яких відстань до точки F та до прямої d відрізняється в e разів (на малюнку  |FM| = e\cdot |MM'|,\  MM' \bot d,\ e=1/2 ), є конічним перетином.

Точка F має назву фокус конічного перетину, пряма d — директриса, число e-ексцентриситет.

В залежності від ексцентриситета, утворюється:

  • При e < 1 — еліпс;
  • При e = 1 — парабола;
  • При e > 1 — гіпербола.

Якщо e = 0 то утворюється коло.

Групи перетворень[ред.ред. код]

  • Ексцентриситет двох невироджених конічних перетинів збігається тоді і тільки тоді, коли вони можуть бути переведені один в одного перетворенням подібності.
  • Афінні перетворення зберігають тільки знак ексцентриситету, тобто, для афінної геометрії існують лише три різні невироджені конічні перетини: еліпс, парабола та гіпербола.
  • Усі невироджені конічні перетини неможливо розрізнити в проективній геометрії.

Рівняння[ред.ред. код]

В Декартових координатах[ред.ред. код]

В Декартових координатах конічні перетини описуються загальним квадратним многочленом:

 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,

Отже, конічні перетини є квадриками. Знак дискримінанта

 \delta = B ^ 2-4AC,

визначає тип конічного перетину.

В полярних координатах[ред.ред. код]

В полярних координатах (\rho, \theta) з центром в одному з фокусів та нульовим напрямом вздовж головної осі рівняння конічного перетину має вигляд:

 \rho (1 - e \cos \theta) = l \,

де е — ексцентриситет, l — константа.

Історія[ред.ред. код]

Конічні перетини були відомі ще математикам Давньої Греції. Менехм займався в Академії Платона дослідженням конічних перетинів на прикладі макету конуса. Він з'ясував, що задачу про подвоєння куба можна звести до визначення точок перетину двох конічних перетинів. Евклідом було написано чотири книжки про конічні перетини, які, однак до наших часів не зберіглись. Найповнішим твором, присвяченим цим кривим, були «Конічні перетини» Аполлонія із Перги (приблизно 200 до н. е.). Представлення конічних перетинів у вигляді рівнянь належить Ферма та Декарту.

Застосування[ред.ред. код]

Конічні перетини мають застосування у астрономії: орбіти двох масивних тіл, між якими існує гравітаційна взаємодія, є конічними перетинами, якщо їхній спільний центр мас нерухомий. Якщо вони між собою зв'язані, то рухатимуться по еліптичних орбітах; якщо рухаються окремо, то траєкторії матимуть вигляд парабол або гіпербол (див. закон Кеплера).

Джерела інформації[ред.ред. код]

Дивіться також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]