Користувач:NAME XXX/Теорія відносності
Деякі кінематичні ефекти як наслідок перетворень Лоренца[ред. | ред. код]
Ефект Доплера[ред. | ред. код]
Нехай до нерухомого спостерігача посилаються електромагнітні хвилі від годинника-установки, що рухається зі швидкістю . Нерухомому спотерігачеві відповідає ІСВ S. Тоді інший спостерігач, що також відповідає ІСВ S, але знаходиться поруч з годинником-установкою. Нехай під час першого посилання установка знаходилась від першого спостерігача на відстані , а під час другого - на відстані . Тоді, якщо спостерігач поруч з годинником відмічає, що хвилі надіслані у моменти часу , то до спостерігача, приймаючого хвилі, вони доходять у моменти часу
.
Отже,
.
Враховуючи релятивистське сповільнення часу, , останній вираз може бути переписаний як
.
Ввівши частоти випромінювання, , можна звести до вигляду
.
Тепер можна розглянути випадки, коли установка-годинник віддаляється від спостерігача, якому надсилаються хвилі, і наближається до нього. Відповідно до цього
,
а звідси -
і
.
У випадку ж, коли установка пролітає над спостерігачем, і можна вважати протягом кототкого проміжку часу, що відносна швидкість рівна нулю, вираз для зміни частоти набуде вигляду
.
Отже, у першому випадку вклад у зміну частоти можна описати, за малих швидкостей, у рамках галілеївського закону додавання швидкостей, а у другому - виключно за допомогою релятивістського перетворення Лоренца.
Формули, що відповідають двом випадкам, можна об'єднати в одну. Дійсно, нехай у початковий момент часу відстань від спостерігача до установки була рівна . Тоді після прольоту установкою відстані відстань буде рівна (за великих )
.
Тоді
.
Формула описує ефект Доплера, суть якого полягає у зміні величини частоти, яка сприймається спостерігачем, при відносному русі спостерігача і джерела випромінювання.
Аберрація[ред. | ред. код]
Аберація - ефект, аналогічний ефекту Доплера, але проявляється він у зміні видимого положення об'єкта як наслідок кінематичних ефектів. Її можна продемонструвати на прикладі зміщення видимого положення зір.
Нехай у деякій ІСВ S, у якій зоря покоїться, розміщений спостерігач. В напрямі кута відносно площини орбіти Землі він бачить зорю. Відносно цього спостерігача, разом із Землею, рухається спостерігач (ІСВ S'). Коли спостерігачі будуть знаходитися в одній точці, другий спостерігач побачить зорю під кутом . Виходячи з рисунка, другий спостерігач побачить зорю в т. А, коли вона буде знаходитись у точці B (вона пройде відстань за той час, поки світло дістанеться до спостерігача з т. А. Також буде змінюватися і кут .
Перший спостерігач також бачить зорю у її минулих положеннях, але завжди - під одним і тим самим кутом . Виходячи з рисунку і враховуючи інваріантність ортогональних до швидкості компонент, очевидно, що
.
Використовуючи співвідношення та піднісши до квадрату, вираз можна переписати:
,
.
Дані вирази можна записати і в векторному вигляді. Дійсно, нехай - одиничний направляючий вектор від спостерігача S до зорі. Тоді - направляючий вектор від спостерігача S' до зорі. Тоді сигнал, що розповсюджується від зорі до спостерігачів, у цих двох ІСВ має швидкості . Використовуючи векторні перетворення Лоренца для швидкості, можна отримати:
.
Звідси можна знайти кут, наприклад, між вектором швидкості і направляючим вектором на об'єкт: для знаходження значення косинуса можна, наприклад, скалярно домножити на .
Можна знайти наближений і спрощений вираз для для малих швидкостей :
.
Параллакс[ред. | ред. код]
При врахуванні того, що Земля рухається навколо Сонця, треба також перетворити значення вектора нормалі . Нехай - радіус-вектор від Сонця до зорі, - радіус-вектор від Землі до Сонця. Тоді модуль відстані від Землі до зорі за таких векторів буде наближено рівен
,
де - вектор параллаксу. З урахуванням цієї рівності і без урахування явища аберрації, можна наближено виразити значення вектора нормалі через ці вектори:
.
Підставляючи отриманий вираз у і нехтуючи доданками виду , можна отримати, що
.
Прискорений рух[ред. | ред. код]
Використовуючи локально-інерціальні системи відліку, можна отримати формальне визначення прискорення через швидкість в рамках релятивістської кінематики. Нехай у момент часу швидкість об'єкта по осі мала значення (по іншим осям - нульова), а у момент часу - . Це формально відповідає прискоренню цього об'єкта і означає, що в рамках нерелятивістської кінематики приріст швидкості за цей момент часу у власній ІСВ можна виразити як . Можна уявити, що є дві ІСВ, що мають відносну швидкість , і записати для об'єкта обернене перетворення Лоренца:
.
Це рівняння можна розв'язати відносно . Дійсно, після інтегрування,
.
Отримане рівняння, знову ж таки, можна розв'язати, прийнявши до уваги, що , можна отримати:
.
Кожне з рівнянь у граничному випадку переходить у рівняння нерелятивістської кінематики. Дійсно, із при одразу виходить вираз
,
із -
,
а з -
.
Кінематика стрижня, що рухається прискорено[ред. | ред. код]
Нехай є стрижень. Він рухається з рівномірним прискоренням таким, що може вважатися жорстким. Для спрощення описання кінематики з кожним моментом часу руху стрижня можна "зв'язати" локально-інерціальну систему відліку, аспекти використання якої можна описати наступним чином. НеІСВ замінюється на послідовність ІСВ таких, що у момент часу швидкість деякого прискореного об'єкта має значення . Співставлення кінематичних станів об'єкта у момент часу і дозволяє отримати залежності кінематичних величин одна від одної і від часу.
Тому нехай є два стрижні, які розглядаються відносно деякої ІСВ . Один з них (стрижень 1) покоїться, і один його кінець (точка А) знаходиться у початку системи координат. Інший же рухається із невеликою швидкістю , причому у момент часу положення обох стрижнів співпадають. Вводячи деяку ІСВ , у якій перший стрижень рухається із швидкістю , та записуючи обернені перетворення Лоренца для радіус-векторів кінців обох стрижнів, можна отримати:
,
.
Необхідною умовою виконання цієї рівності для будь-якого є умова рівності лівої і правої частин. Отже, з лівої і правої частини, що і слідувало очікувати, можна отримати:
,
.
У момент часу одні з кінців (точки А) обох стрижнів співпадають і знаходяться у початку координат. Інший кінець (точка В) стрижня 1 у обох ІСВ має швидкість, відповідно, . Звідси, використавши і позначення для радіус-вектора, що з'єднує початок координат і точку В першого стрижня, можна отримати:
.
Для тчоки В другого ж стрижня можна записати, що . Тоді, використовуючи позначення , для моменту часу з можна записати:
.
Віднявши від та інваріантністю ортогональних по відношенню до вектора відносної швидкості компонент радіус-вектора при переході до нової ІСВ, і ввівши вектор довжини стрижня , можна отримати:
.
Рівняння описує зміни вектора довжини стрижня за модулем і за орієнтацією. Тому його доцільно "розбити" на два рівняння, кожне з яких описує окрему зміну. Це просто зробити, ввівши довжину вектора, , та одиничний направляючий вектор, . Тоді, використавши можна записати
,
.
Ввівши вектор кутової швидкості, , можна переписати як
.
Із введеної величини також випливає, що для випадку
нескінченно малий кут повороту стрижня рівен
.
Енергія та імпульс у СТВ[ред. | ред. код]
Формула Ціолковського[ред. | ред. код]
Нехай є ракета маси , що летить із швидкістю v у вакуумі. За малий інтервал часу вона позбавляється елемента з малою енергією і швидкістю , яка вважається швидкістю вильоту елемента із ракети відносно спостерігача.
Закони збереження імпульса і енергії мають вигляд
.
Якщо проміжок часу і, відповідно, енергія малі, то зміни власних імпульса і енергії ракети можуть бути замінені на диференціал. Тоді
.
Для подальшого треба врахувати дві речі.
По-перше, швидкість записана як швидкість елементу, шо вилітає із ракети. Це означає, що при переході до ІСВ нерухомого спостерігача ця швидкість також стає залежною від . Це означає, що якщо використати перетворення швидкостей та записати швидкість відносно нерухомого спостерігача, то ця швидкість буде функцією від . За законом складання швидкостей (рух відбувається по осі Ox, швидкість елемента відносно ракети рівна ),
.
По-друге, у рівнянні є дві величини, що залежать від часу . Оскільки у кожен момент часу даній швидкості відповідає дана маса, то можна перейти від залежності обох змінних від часу до залежності маси від швидкості.
Тоді, з урахуванням написаного і ввівши функцію , можна перетворити:
.
Цей вираз описує зміну маси ракети у залежності від її швидкості і називається релятивістською формулою Ціолковського.
Сила у СТВ[ред. | ред. код]
Розв'язок рівняння динаміки[ред. | ред. код]
Постійна сила[ред. | ред. код]
Вираз для сили у СТВ, записаний через похідну по часу від виразу імпульса, має вигляд
.
Можна, маючи значення , отримати вирази для .
Перший раз інтегруючи вираз для по часу, можна отримати:
.
Отриманий вираз проінтегрувати просто не вдасться, оскільки не вдасться виразити диференціал заміни через вектор (для цього довелося б домножити і розділити вираз на вектор). Через це доцільно перетворити знаменник так, щоб у дужках під повним квадратом стояв скалярний вираз. Це можна зробити, розписавши явно повний квадрат по t у знаменнику і дещо перетворивши його:
.
.
Тоді сам інтеграл від набуде вигляду
,
де
- власний час об'єкта.
.
Тепер, попередньо врахувавши, що
,
можна "взяти" кожен з доданків-інтегралів:
,
,
де остання функція, - власний час об'єкта.
Отже,
.
Кулонівський потенціал[ред. | ред. код]
Тепер можна розглянути випадок з
(рух релятивістської частинки у полі статичного заряду або статичної маси).
Для такої сили, як для центральної, зберігаються енергія та момент імпульсу:
,
де враховано, що
,
і
.
Тому для розв'язку раціональніше використати ці інтеграли руху. По-перше, збереження вектора моменту імпульсу означає, що рух відбувається в одній площині. Дійсно, із часом зберігаються як його довжина, так і модуль, а тому, оскільки момент імпульсу перпендикулярний як радіус-вектору частинки, так і її швидкості, виходить, що радіус-вектор і вектор швидкості належать одній площині, яка є "стаціонарною".
Через це раціонально розв'язувати рівняння динаміки, перейшовши до полярних координат. У них радіус-вектор і вектор швидкості мають вигляд
,
а вектор моменту імпульсу -
. З нього можна виразити : дійсно,
.
Отриманий вираз можна підставити до виразу енергії:
.
Інтегрування виразу буде виконано нижче, а на даному етапі можна підставити цей вираз у :
.
Явну залежність знайти не вдасться, оскільки рівняння на - неявне (див. інтегрування виразу нижче). Проте можна знайти величину , якщо виразити із диференціал :
.
Тоді набуде вигляду
.
Нехай . Тоді
.
Можна проінтегрувати вираз :
.
Отримані розв'язки дозволяють, через наявну залежність , описувати динаміку полярних радіуса і кута із часом.
Вираз для сили, що зберігає стандартні інтеграли руху[ред. | ред. код]
Нехай простір-час є ізотропним. Це означає, що загальний вираз для сили при інверсії координатних осей не повинен змінювати свого вигляду, а при повторній інверсії він має переходити сам у себе. Звідси, а також - з того, що для повного описання руху частинки достатньо знати її координату та швидкість (це можна допустити, хоч у теорії поля це твердження - невірне), слідує, що сила може векторно залежати лише від радіус-вектора, вектора швидкості та їх векторного добутку, а коефіцієнти при цих векторах - від скалярного добутку радіус-вектора на вектор швидкості, модулів швидкості і радіус-вектора та деяких констант. Отже,
.
Нехай тепер є два інтеграли руху - енергія, , та момент імпульса, . Похідна по часу від кожного рівна нулю. Отже, користуючись тим, що
,
.
Без зменшення загальності виразу для сили можна перепозначити і вважати, що . Тоді
,
і
.
Далі - можна продиференціювати вираз для моменту імпульса:
,
оскільки мають довільний напрям, а вектор їм ортогональний.
Отже,
.
Така сила називається центральною.