Корінь (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Корінь натурального степеня)
Перейти до: навігація, пошук

Це стаття про добування коренів. Див. також Корінь рівняння і Корінь многочлена.

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

Корінь n-го ступеня із числа a означається[1] як таке число b, що ~b^n=a. Тут n — натуральне число, що зветься показником кореня (або ступенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n=1 тривіальний.

Позначення: b=\sqrt[n]{a}, символ (знак кореня) в правій частині називається радикалом. Число a (підкореневий вираз) найчастіше дійсне або комплексне.

Приклади для дійсних чисел:

  • \sqrt[2]{9}=\pm 3, тому що {(\pm 3)}^2=9.
  • \sqrt[3]{\ 64}=4, тому що 4^3=64.
  • \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}, тому що \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.

Як видно з першого прикладу, у дійсного кореня можуть бути два значення (позитивне і негативне), і це ускладнює роботу з корнем. Щоб забезпечити однозначність, вводиться поняття арифметичного кореня, значення якого завжди невід'ємне, в першому прикладі це число 3.

Означення та пов'язані поняття[ред.ред. код]

Крім наведеного вище, можна дати два рівносильних означення кореня[2]:

  • Коренем n-го ступеня із числа a є розв'язок x рівняння ~x^n=a (відзначимо, що розв'язків може бути кілька або жодного)
  • Коренем n-го ступеня із числа a є корінь многочлена x^n-a, тобто значення x, при якому зазначений многочлен дорівнює нулю.
Графік значень квадратного кореня

Операція обчислення \sqrt[n]{a} називається «добуванням кореня n-го ступеня» із числа a. Це одна з двох операцій, обернених піднесенню до степеня[3], а саме — знаходження основи ступеня b за відомим показником n і результатом піднесення до ступеня a=b^n. Друга обернена операція, логарифмування, знаходить показник ступеня за відомою основою та результатом.

Корені другого і третього ступеня використовуються особливо часто і тому мають спеціальні назви[3].

  • Квадратний корінь: \sqrt{a}. У цьому випадку показник ступеня 2 зазвичай опускається, а термін «корінь» без вказівки ступеня найчастіше позначає квадратний корінь. Геометрично \sqrt{a} можна розглядати як довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює a.
  • Кубічний корінь: \sqrt[3]{a}. Геометрично \sqrt[3]{a} — це довжина ребра куба, об'єм якого дорівнює a.

Корені з дійсних чисел[ред.ред. код]

Корінь n-го ступеня із дійсного числа a, в залежності від парності n і знака a, може мати від 0 до 2 дійсних значень.

Загальні властивості[ред.ред. код]

  • Корінь непарного ступеня із додатнього числа — додатнє число, однозначно визначене.
\sqrt[n]{a} = b,   где   a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},   n — непарне
Наприклад, \sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1
  • Корінь непарного ступеня із від'ємного числа — від'ємне число, однозначно визначене.
\sqrt[n]{a} = b,   где   a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},   n — непарне
Наприклад, \sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1
  • Корінь парного ступеня із додатнього числа має два значення з протилежними знаками, але рівні за модулем.
\sqrt[n]{a} = \pm b,   где   a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},   n — парне
Наприклад, \sqrt{4} = \pm 2, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2
  • Корінь парного ступеня із від'ємного числа не існує у області дійсних чисел, оскільки при піднесенні будь-якого дійсного числа до ступеня з парним показником результатом буде невід'ємне число. Нижче буде показано, як знаходити такі корені в ширшій системі — множині комплексних чисел (тоді значеннями кореня будуть n комплексних чисел).
\sqrt[n]{a}   не існує, якщо   a < 0,\ n \in \mathbb{N},   n — парне
  • Корінь будь-якого натурального ступеня від нуля — нуль.
\sqrt[n]{0} = 0,   де   n \in \mathbb{N}
Графік функції арифметичного квадратного кореня

Арифметичний корінь[ред.ред. код]

Корні парного ступеня визначені, взагалі кажучи, неоднозначно, і цей факт створює незручності при їх використанні. Тому було введено практично важливе обмеження цього поняття[4].

Арифметичний корінь n-го ступеня з невід'ємного дійсного числа a — це таке невід'ємне число b, що ~b^n=a. Позначається арифметичний корінь тим же знаком радикала.

Таким чином, арифметичний корінь, на відміну від раніше означеного (алгебричного[5]), означається лише для невід'ємних дійсних чисел, а його значення завжди існує, однозначно[6] і невід'ємне. Наприклад, квадратний корінь з числа 4 має два значення: 2 и -2,з них арифметичним є перше.

Оскільки арифметичний корінь і алгебричний позначаються одним і тим же символом, але є різними об'єктами, в рамках даної статті арифметичний корінь позначається синім кольором, а алгебричний — чорним.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  2. М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.
  3. а б Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, С. 64.
  4. Арифметический корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  5. Алгебричний (багатозначний) корінь у джерелах часто називають просто коренем.
  6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 35—36.