Корінь (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Це стаття про добування коренів. Див. також Корінь рівняння і Корінь многочлена.

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

Корінь n-го ступеня із числа a визначається[1] як таке число b, що ~b^n=a. Тут n — натуральне число, що зветься показником кореня (або ступенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n=1 тривіальний.

Позначення: b=\sqrt[n]{a}, символ (знак кореня) в правій частині називається радикалом. Число a (підкореневий вираз) найчастіше дійсне або комплексне.

Приклади для дійсних чисел:

  • \sqrt[2]{9}=\pm 3, тому що {(\pm 3)}^2=9.
  • \sqrt[3]{\ 64}=4, тому що 4^3=64.
  • \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}, тому що \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.

Як видно з першого прикладу, у дійсного кореня можуть бути два значення (позитивне і негативне), і це ускладнює роботу з коренем. Щоб забезпечити однозначність, вводиться поняття арифметичного кореня, значення якого завжди невід'ємне, в першому прикладі це число 3.

Означення та пов'язані поняття[ред.ред. код]

Крім наведеного вище, можна дати два рівносильних означення кореня[2]:

  • Коренем n-го ступеня із числа a є розв'язок x рівняння ~x^n=a (відзначимо, що розв'язків може бути кілька або жодного)
  • Коренем n-го ступеня із числа a є корінь многочлена x^n-a, тобто значення x, при якому зазначений многочлен дорівнює нулю.
Графік значень квадратного кореня

Операція обчислення \sqrt[n]{a} називається «добуванням кореня n-го ступеня» із числа a. Це одна з двох операцій, обернених піднесенню до степеня[3], а саме — знаходження основи ступеня b за відомим показником n і результатом піднесення до ступеня a=b^n. Друга обернена операція, логарифмування, знаходить показник ступеня за відомою основою та результатом.

Корені другого і третього ступеня використовуються особливо часто і тому мають спеціальні назви[3].

  • Квадратний корінь: \sqrt{a}. У цьому випадку показник ступеня 2 зазвичай опускається, а термін «корінь» без вказівки ступеня найчастіше позначає квадратний корінь. Геометрично \sqrt{a} можна розглядати як довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює a.
  • Кубічний корінь: \sqrt[3]{a}. Геометрично \sqrt[3]{a} — це довжина ребра куба, об'єм якого дорівнює a.

Корені з дійсних чисел[ред.ред. код]

Корінь n-го ступеня із дійсного числа a, в залежності від парності n і знака a, може мати від 0 до 2 дійсних значень.

Загальні властивості[ред.ред. код]

  • Корінь непарного ступеня із додатного числа — додатне число, однозначно визначене.
\sqrt[n]{a} = b,   де   a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},   n — непарне
Наприклад, \sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1
  • Корінь непарного ступеня із від'ємного числа — від'ємне число, однозначно визначене.
\sqrt[n]{a} = b,   де   a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},   n — непарне
Наприклад, \sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1
  • Корінь парного ступеня із додатного числа має два значення з протилежними знаками, але рівні за модулем.
\sqrt[n]{a} = \pm b,   де   a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},   n — парне
Наприклад, \sqrt{4} = \pm 2, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2
  • Корінь парного ступеня із від'ємного числа не існує у області дійсних чисел, оскільки при піднесенні будь-якого дійсного числа до ступеня з парним показником результатом буде невід'ємне число. Нижче буде показано, як знаходити такі корені в ширшій системі — множині комплексних чисел (тоді значеннями кореня будуть n комплексних чисел).
\sqrt[n]{a}   не існує, якщо   a < 0,\ n \in \mathbb{N},   n — парне
  • Корінь будь-якого натурального ступеня від нуля — нуль.
\sqrt[n]{0} = 0,   де   n \in \mathbb{N}
Графік функції арифметичного квадратного кореня

Арифметичний корінь[ред.ред. код]

Корені парного ступеня визначені, взагалі кажучи, неоднозначно, і цей факт створює незручності при їх використанні. Тому було введено практично важливе обмеження цього поняття[4].

Арифметичний корінь n-го ступеня з невід'ємного дійсного числа a — це таке невід'ємне число b, що ~b^n=a. Позначається арифметичний корінь тим же знаком радикала.

Таким чином, арифметичний корінь, на відміну від раніше визначеного (алгебричного[5]), визначається лише для невід'ємних дійсних чисел, а його значення завжди існує, однозначно[6] і невід'ємне. Наприклад, квадратний корінь з числа 4 має два значення: 2 и -2,з них арифметичним є перше.

Оскільки арифметичний корінь і алгебричний позначаються одним і тим же символом, але є різними об'єктами, в рамках даної статті арифметичний корінь позначається синім кольором, а алгебричний — чорним.

Алгебричні властивості[ред.ред. код]

Наведені нижче формули вірні, перш за все, для арифметичних коренів будь-якого ступеня, що підкреслюється виділенням знака радикала синім кольором (крім особливо обумовлених випадків). Вони справедливі також для коренів непарного ступеня, у яких допускаються і від'ємні підкореневі вирази[7].


  • Взаємоскорочення кореня і ступеня[8] — для непарного n:    ~\sqrt[n]{a^n} = a, для парного n:    ~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^n}}} = |a|
  • Якщо a<b, то і {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} < {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}

Корінь з добутку дорівнює добутку коренів із співмножників:

  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{ab}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}

Аналогічно для ділення:

  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{\frac {a} {b}}}} = \frac{{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black} {a}}}} {{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}},\; b\ne 0

Наступна рівність є означенням піднесення у дробову ступінь[9]:

  • a^{m/n} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}} = \left({\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m

Величина кореня не зміниться, якщо його показник і ступінь підкореневого виразу розділити на їх спільний множник:

  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a^{mk}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \; n,k \in \mathbb N. Приклад: {\color{blue}\sqrt[{\color{black}6}] {\color{black}{64}}}={\color{blue}\sqrt[{\color{black}{2\cdot 3}}] {\color{black}{4^3}}} = {\color{blue}\sqrt {\color{black}{4}}} = 2
  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{blue}\sqrt[{\color{black}k}] {\color{black} {a}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a}}}, \; n,k \in \mathbb N

Для коренів непарного ступеня є додаткова властивість:

  • \sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a},\quad n - непарне.

Добуток кореня та піднесення до степеня[ред.ред. код]

Операція піднесення до степеня спочатку була введена як скорочений запис операції множення натуральних чисел: ~m^n={\color{Gray}\underbrace{\color{Black}m\cdot m\cdot\dots\cdot m}_{\color{Black}n}}. Наступним кроком було визначення зведення в довільну цілу, в тому числі від'ємну, степінь: ~m^{-n}=\frac{1}{m^n}.

Операція здобування арифметичного кореня дозволяє визначити зведення додатного числа в будь-який раціональний (дробовий) степінь[9]:

a^{\frac{m}{n}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}},\quad>0

При цьому чисельник m дробу \frac{m}{n} може мати знак. Властивості розширеної операції переважно аналогічні піднесенню до цілого степеня.

Це визначення означає, що витяг кореня та зворотне до нього зведення в ступінь фактично об'єднуються в одну алгебраїчну операцію. Зокрема:

~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} = a^{\frac{1}{n}}

Спроби зведення в раціональну степінь негативних чисел можуть привести до помилок, оскільки значення алгебраїчного кореня неоднозначне, а область значень арифметичного кореня обмежена невід'ємними числами. Приклад можливої ​​помилки:

-1 = (-1)^{2\ \cdot\ \frac{1}{2}} = \left({(-1)^2}\right)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}={\color{blue}\sqrt{\color{black}1}}= 1

Функція кореня[ред.ред. код]

Якщо розглядати підкорінний вираз як змінну, ми отримаємо функцію кореня n-о ступеня: y=\sqrt[n] x. Функція кореня відноситься до категорії алгебраїчних функцій. Графік будь-якої функції кореня проходить через початок координат та точку (1; \ 1).

Як сказано раніше, для кореня парному міри, щоб забезпечити однозначність функції, корінь повинен бути арифметичним, так що аргумент x невід'ємний. Функція кореня непарного ступеня однозначна та існує для будь-якого дійсного значення аргументу.

Тип функції кореня Область визначення Область значень Інші властивості
парні ступені [0; \ +\infty) [0; \ +\infty) Функція опукла вгору на всій області визначення
непарні ступені (-\infty; +\infty) (-\infty; +\infty) функція непарна

Для будь-якого ступеня функція кореня строго зростає, неперервна усюди всередині своєї області визначення. Необмежено дифферинцюйована усюди, крім початку координат, де похідна звертається в нескінченність[10] [11]. Похідна визначається за формулою[12]:

\frac {d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac {1} {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}. Зокрема, \frac {d}{dx} \sqrt{x} = \frac {1} {2\sqrt{x}}.

Функція необмежено інтегруема у всій області визначення. Невизначений інтеграл шукається за формулою:

\int \sqrt[n]{x} \;dx =  \frac{\sqrt[n]{x^{n+1}}}{1+\frac{1}{n}} + C. Зокрема, \int \sqrt{x} \;dx = \frac{2 \sqrt{x^3}}{3} + C, де C — довільна постійна.
 
\frac {d^k}{dx^k} \sqrt[n]{x} = (-1)^{k} \frac {\prod^{k-1}_{m=0}(mn-1)}{{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn-1}}}}
де \ k, n \in \mathbb {N}, \ x \ne 0
\underbrace {\int\cdots\int}_{k} \sqrt[n]{x} \ \underbrace {dx\cdots dx}_{k} = \frac {{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn+1}}}}{\prod^{k}_{m=1}(1+mn)} + C
де k, n \in \mathbb {N}, \ C=const
Праві частини формул є алгебраїчними виразами, які існують завжди, при натуральному k. Отже і ліві теж.


Граничні співвідношення[ред.ред. код]

Наведемо кілька корисних границь, що містять корені[15].

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ln n} = 1
\lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x-1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)= \ln x
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(x+1)^m}-1}{x} = \frac{m}{n}
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}\right)^n = \sqrt{ab}

Практичне обчислення коренів[ред.ред. код]

Функція обчислення квадратних та кубічних коренів передбачена в багатьох калькуляторах; наприклад, калькулятор Windows показує відповідні кнопки в режимі «Інженерний» (Науковий). Для ручного розрахунку можна використовувати метод, викладений у статті Алгоритм знаходження кореня n-ного ступеня[ru].

Для ступенів вище третьої можна використовувати логарифмічну тотожність:

\log_a \sqrt[n]{x} = \frac {\log_a (x)} n \,

З нього випливає, що для здобутку кореня треба знайти логарифм подкорінного виразу, розділити на ступінь кореня та знайти антилогарифмів[ru] результату.

Корінь комплексного числа[ред.ред. код]

Зародження поняття комплексного числа історично було пов'язано з бажанням «легалізувати» квадратні корені з від'ємних чисел. Як поступово з'ясувалося, комплексні числа володіють багатьма алгебраїчними та аналітичними властивостями; зокрема, вилучення коренів з них завжди можливо, хоча і неоднозначно.

Способи знаходження[ред.ред. код]

Запишемо комплексне число z в тригонометричної формі:

z = r \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right).

Тоді корінь n-о ступеня з z визначається формулою Муавра (тригонометрична форма) [16]:

\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),\;k = 0, 1, \dots, n-1
Коріння третьої та шостого ступеня з одиниці (вершини трикутника та шестикутника відповідно)

або в показовій формі:

z = r e^{i\varphi}
\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}e^{\left(i\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\;k = 0, 1, \dots, n-1
 

z = x + iy, \ z \in \mathbb{C} (комплексне число),
x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R} (дійсна частина комплексного числа),
y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R} (уявна частина комплексного числа),
i — уявна одиниця,
r=|z|={\color{blue}\sqrt{\color{black}{x^2+y^2}}} (модуль комплексного числа),
\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x} (аргумент комплексного числа),
e — підстановка натурального логарифма.

Корінь ступеня n з ненульового комплексного числа має n значень (це наслідок основної теореми алгебри), і всі вони різні. Значення кореня, одержуване при k=0, часто називається головним.

Оскільки для всіх значень кореня величина модуля однакова (він визначається як арифметичний корінь з модуля початкового комплексного числа), а змінюється лише його аргумент, все n значень кореня розташовуються на комплексній площині на колі радіуса {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}} c центром на початку координат. Корені ділять цю окружність на n рівних частин.

Приклади[ред.ред. код]

Знайдемо \sqrt{-4}. Оскільки -4 = 4 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}), за формулою отримуємо:

\sqrt{-4} = 2 \left( \cos{\frac{\pi+2\pi k}{2}} + i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{2}}\right),\;k = 0, 1

При k=0 отримаємо перший корінь 2 i, при k=1 отримаємо другий корінь (-2 i).

Інший приклад: знайдемо \sqrt[4]{-16}. Уявімо підкорінний вираз в тригонометричній формі:

-16 = 16\ (\cos(\pi + 2k\pi) + i \sin(\pi + 2k\pi))

За формулою Муавра отримуємо:

z_k = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)

У підсумку маємо чотири значення кореня[17]:

z_0=2 \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1+i)
z_1=2 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (-1+i)
z_2=2 \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right) =-\sqrt{2}\ (1+i)
z_3=2 \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1-i)

Можна записати отриману відповідь у вигляді: ~\sqrt[4]{-16} = \sqrt{2}\ (\pm 1 \pm i)

Комплексна функція кореня та ріманова поверхня[ред.ред. код]

Розглянемо комплексну функцію кореня n-о ступеня: w=\sqrt[n]{z}. Відповідно до сказаного вище, ця функція є багатозначною (точніше, n-значною) функцією, і це створює незручності при її дослідженні та застосуванні. В комплексному аналізі замість розгляду багатозначних функцій на комплексній площині прийнято інше рішення: розглядати функцію як однозначну, але певну не так на площині, а на більш складному многовиді, яке називається рімановою поверхнею[18].

Для комплексної функції кореня n-го ступеня її ріманова поверхня (див. малюнки) складається з n гілок (аркушів), пов'язаних гвинтоподібно, причому останній лист пов'язаний з першим. Ця поверхня неперервна та однозв'язна. Один з листів містить головні значення кореня, одержувані як аналітичне продовження речового кореня з позитивного променя дійсної осі.

Опишемо для простоти комплексну функцію квадратного кореня. Її ріманова поверхня складається з двох аркушів. Перший лист можна представити як комплексну площину, у якій вирізаний позитивний промінь речовій осі. Значення функції кореня w на цьому аркуші мають удвічі менший аргумент, ніж z, і тому вони заповнюють верхню частину комплексної площині значень. На розрізі перший лист склеєний з другим, і функція безперервно триває через розріз на другий лист, де її значення заповнюють нижню частину комплексної площини значень. Решта вільний початок першого аркуша та кінець другого теж склеємо, після чого отримана функція на рімановій поверхні стає однозначною та всюди безперервною[18].

Єдиний нуль у функції (першого порядку) виходить при z=0. Особливі точки: z=0 та z=\infty (точки розгалуження нескінченного порядку)[18]. Поняття точки розгалуження означає, що замкнутий контур в околиці нуля неминуче містить перехід з аркуша на аркуш.

У силу однозв'язності ріманової поверхні кореня є універсальним накриттям[19] для комплексної площині без точки 0.

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

Корінь n-о ступеня з a є рішенням рівняння ~x^n=a, і його в принципі можна визначити всюди, де таке рівняння має сенс. Найчастіше розглядають такі узагальнення в алгебраїчних кільцях. Найкраще досліджені узагальнені квадратні корені.

Якщо кільце є область цілісності, то квадратних коренів може бути або два, або жодного. Справді, якщо є два кореня a, b, то ~a^2=b^2, звідки: ~(a-b)(a+b)=0, тобто, в силу відсутності дільників нуля, ~a=\pm b. У більш загальному випадку, коли в кільці є подільники нуля або воно некомутативниме, число коренів може бути будь-яким.

Коріння для кватерніонів мають багато спільного з комплексними, але є й суттєві особливості. Квадратний кватерніонний корінь зазвичай має 2 значення, але якщо підкоренний вираз — негативне дійсне число, то значень нескінченно багато. Наприклад, квадратні корені з -1 утворюють тривимірну сферу, яка визначається формулою[20]:

\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} \,.

Для кільця квадратних матриць доведено, що якщо матриця позитивно визначена, то позитивно певний квадратний корінь з неї[en] існує та единий[21]. Для матриць інших типів коренів може бути скільки завгодно (в тому числі жодного).

Квадратні корені вводяться також для функцій[22], операторів[23] та інших математичних об'єктів.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  2. М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.
  3. а б Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, С. 64.
  4. Арифметический корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  5. Алгебричний (багатозначний) корінь у джерелах часто називають просто коренем.
  6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 35—36.
  7. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, С. 141—143.
  8. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.
  9. а б Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, С. 183.
  10. Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального обчислення, 1966, Т. I, С. 194, 198.
  11. Мордковіч А. Г., 2003
  12. Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, 1966, Т. I, С. 215.
  13. Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, 1966, Т. I, С. 233, окремий випадок для \mu=\frac{1}{n}..
  14. Не плутати з кратними інтегралами. Їх записи вельми схожі, але k-й інтеграл є невизначеним, в той час як k-кратний інтеграл — певний.
  15. Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, 1966, Том I, стор. 67, 131 — 132, 164, 166 — 167.
  16. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики, 1973
  17. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 68.
  18. а б в Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної, 1967
  19. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — С. 112.
  20. Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
  21. См., наприклад: Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212–219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  22. См., наприклад: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
  23. См., наприклад: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.