Косоермітова матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця \ A з комплексними елементами називається косоермітовоючи анти-ермітовою (на честь Шарля Ерміта) , якщо вона протилежна до своєї ермітово-спряженої матриці, тобто

\ A^*=-A

Тобто, a_{ij}=-\overline{a_{ji}} для всіх елементів матриці \ A.

Приклад[ред.ред. код]

\begin{bmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{bmatrix}

Властивості[ред.ред. код]

Зв'язок з комплексними числами[ред.ред. код]

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та косоермітової матриць:

A = H_1 + i H_2, \qquad H_1 = \frac{A + A^*}{2}, \quad H_2 = \frac{A - A^*}{2i},

де:

\ H_1^* = H_1, \; H_2^* = H_2    — ермітові матриці,
\ {(i H_2)}^* = -(i H_2)    — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця \ A є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці \ H_1, H_2 переставні:

A^*A=AA^* \; \iff \; H_1H_2=H_2H_1.

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]