Крива Без'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Криві Безьє́ були запроваджені в 1962 році П'єром Без'є з автомобілебудівної компанії «Рено», хоча ще в 1959 році використовувались Полем де Кастельє з компанії «Сітроен», але його дослідження не публікувались і приховувались компанією як комерційна таємниця до кінця 1960-х.

Іменем де Кастельє названо його рекурсивний спосіб визначення кривих (алгоритм де Кастельє).

Криві Без'є один з найголовніших інструментів систем автоматизованого проектування і програм комп'ютерної графіки.

[ред.] Визначення

Крива Без'є — параметрична крива, вигляду

$\mathbf{B}(t)=\sum^n_{i=0} \mathbf{b}_{i,n}(t) \mathbf{P}_i,\qquad t\in[0,1]$

де

$\mathbf{P}_i$ — опорні вершини,

$\mathbf{b}_{i,n}(t)={n \choose i} t^i(1-t)^{n-i}$ — поліноми Бернштейна, вони є базисними функціями кривої Без'є.

Також існує рекурсивна формула побудови кривих Без'є

$\mathbf{B_{P_0 P_1 \ldots P_n}}(t) = (1-t)\mathbf{B_{P_0 P_1 \ldots P_{n-1}}}(t) + t\mathbf{B_{P_1 P_2 \ldots P_n}}(t).$

[ред.] Види кривих Без'є

[ред.] Лінійні криві Без'є

При n = 1 крива є відрізком від точки P₀ до точки P₁ (лінійна інтерполяція). Крива задається як:

$\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1, \quad t \in [0,1].$

[ред.] Квадратичні криві Без'є

Квадратична крива Безьє (n = 2) задається трьома опорними точками: P₀, P₁ та P₂.

$\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2, \quad t \in [0,1]$ .

Сплайни з квадратичних кривих Без'є використовуються для описування форми символів в шрифтах TrueType.

[ред.] Кубічні криві Без'є

Чотири опорні точки P₀, P₁, P₂ та P₃, задані в 2-х чи 3-мірному просторі визначають форму кривої:

Лінія починається в точці P₀ направляється до P₁ і закінчується в точці P₃ підходячи до неї з боку точки P₂. Тобто крива не проходить через точки P₁ та P₂, вони використовуються для напрямку руху.

$\mathbf{B}(t) = (1-t)^3\mathbf{P}_0 + 3t(1-t)^2\mathbf{P}_1 + 3t^2(1-t)\mathbf{P}_2 + t^3\mathbf{P}_3, \quad t \in [0,1]$ .

В матричній формі кубічна крива Без'є записується як:

$\mathbf{B}(t) = \begin{bmatrix}t^3&t^2& t& 1\end{bmatrix}\mathbf{M}_B \begin{bmatrix}\mathbf{P}_0\\\mathbf{P}_1\\\mathbf{P}_2\\\mathbf{P}_3\end{bmatrix}$ , де $\mathbf{M}_B = \begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}$ — називається базисною матрицею Без'є.

В таких графічних системах, як PostScript, Inkscape та GIMP для криволінійних форм використовуються сплайни з кубічних кривих Без'є.

[ред.] Література

Роджерс Д.,Адамс Дж.. Математические основы машинной графики, вид. друге (2001), 604 с., Москва: Мир. ISBN 5-03-002143-4.

[ред.] Дивись також

Поверхня Без'є

Крива Без'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Види кривих Без'є

[ред.] Лінійні криві Без'є

[ред.] Квадратичні криві Без'є

[ред.] Кубічні криві Без'є

[ред.] Література

[ред.] Дивись також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами