Кривина Гауса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
З ліва направо: поверхня з від'ємною гаусовою кривиною (гіперболоїд), поверхня з нулевою гаусовою кривиною (циліндр), та поверхня з додатньою гаусовою кривиною (сфера).

Для випадку двомірної поверхні в тривимірному просторі кривиною Га́уса називається добуток головних кривин k^{(1)} k^{(2)}. Природнім буде таке узагальнення кривини Гауса на випадок n-вимірної гіперповерхні.

Означення кривин Гауса для гіперповерхні[ред.ред. код]

Як відомо, кривина n-вимірної гіперповерхні в точці повністю описується головними кривинами:

(1) \qquad k^{(1)}, k^{(2)}, \dots k^{(n)}

та відповідними головними напрямками, в яких напрямках кривина геодезичних дорівнює головним кривинам.

Розглянемо (з точністю до знаку) симетричні многочлени, складені з чисел (1) \qquad k^{(1)}, k^{(2)}, \dots k^{(n)}:

(2) \qquad K^{[1]} = - (k^{(1)} + k^{(2)} + \dots + k^{(n)}) = - \sum_{i} k^{(i)}
\qquad K^{[2]} = k^{(1)} k^{(2)} + k^{(1)} k^{(3)} + \dots + k^{(n-1)} k^{(n)} = \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)}
\qquad \cdots \cdots \cdots
\qquad K^{[n]} = (-1)^n k^{(1)} k^{(2)} \cdots k^{(n)}

Назвемо вищенаведені величини кривинами Гауса відповідного степеня. Загальна формула кривини Гауса степеня m запишеться так:

(3) \qquad K^{[m]} = \sum_{i_1 < i_2 < \dots < i_m} k^{(i_1)} k^{(i_2)} \cdots k^{(i_m)}

Кривини Гауса є коефіцієнтами характеристичного многочлена для матриці тензора повної кривини гіперповерхні:

(4) \qquad \det(\lambda \delta^i_j - b^i_j) = \lambda^n + K^{[1]} \lambda^{n-1} + \dots + K^{[n-1]} \lambda + K^{[n]}

Тензорна формула для кривин Гауса[ред.ред. код]

Формула (3) визначає кривини Гауса через власні числа тензора повної кривини гіперповерхні b_{ij}. Спробуємо виразитии ці величини через компоненти самого тензора b_{ij} в будь-якій системі координат. Для обчислення визначника довільного тензора другого рангу a^i_j ми маємо таку формулу з використанням тензора метричної матрьошки (дивіться статтю Одиничний антисиметричний тензор):

(5) \qquad \det(a^i_j) = {1 \over n!} g^{i_1 i_2 \dots i_n}_{j_1 j_2 \dots j_n} a^{j_1}_{i_1} a^{j_2}_{i_2} \cdots a^{j_n}_{i_n}

Підставимо в цю формулу a^i_j = \lambda \delta^i_j - b^i_j, щоб обчислити лівий вираз формули (4), тоді маємо:

(6) \qquad n! \det (\lambda \delta^i_j - b^i_j) = g^{i_1 i_2 \dots i_n}_{j_1 j_2 \dots j_n} (\lambda \delta^{j_1}_{i_1} - b^{j_1}_{i_1}) \cdots (\lambda \delta^{j_n}_{i_n} - b^{j_n}_{i_n})

Розкриємо дужки в формулі (6). Оскільки тензор метричної матрьошки g^{i_1 i_2 \dots i_n}_{j_1 j_2 \dots j_n} не змінюється при синхронній перестановці верхніх та нижніх індексів, то всі доданки при однаковому степені \lambda^m будуть однаковими (їхня кількість дорівнює біноміальному коефіцієнту C^m_n), і ми одержуємо:

(7) \qquad n! \det (\lambda \delta^i_j - b^i_j) = \lambda^n g^{s_1 s_2 \dots s_n}_{s_1 s_2 \dots s_n} - C^1_n \lambda^{n-1} g^{i s_2 \dots s_n}_{j s_2 \dots s_n} b^j_i + C^2_n \lambda^{n-2} g^{i_1 i_2 \dots s_n}_{j_1 j_2 \dots s_n} b^{j_1}_{i_1} b^{j_2}_{i_2} - \dots

Оскільки послідовні згортки тензора метричної матрьошки дорівнюють:

(8) \qquad g^{i_1 i_2 \dots i_m s_{m+1} s_{m+2} \dots s_n}_{j_1 j_2 \dots j_m s_{m+1} s_{m_2} \dots s_n} = 
(n-m)! \, g^{i_1 \dots i_m}_{j_1 \dots j_m}

То з формули (7) і формули для біноміальних коефіцієнтів C^m_n = {n! \over m! (n-m)!} знаходимо таку формулу для характеристичного многочлена (поділивши обидві сторони рівняння (7) на n!):

(9)  \qquad  \det (\lambda \delta^i_j - b^i_j) = \lambda^n - {\lambda^{n-1} \over 1!} g^i_j b^j_i + 
{\lambda^{n-2} \over 2!} g^{i_1 i_2}_{j_1 j_2} b^{j_1}_{i_1} b^{j_2}_{i_2} - \dots

Порівнюючи формули (9) і (4), знаходимо таку формулу для кривин Гауса:

(10) \qquad K^{[m]} = {(-1)^m \over m!} g^{i_1 i_2 \dots i_m}_{j_1 j_2 \dots j_m} b^{j_1}_{i_1} b^{j_2}_{i_2} \dots b^{j_m}_{i_m}

Вираження кривин Гауса парного степеня через тензор Рімана[ред.ред. код]

Для скалярної кривини гіперповерхні ми мали таку формулу (дивіться статтю Гіперповерхня):

(11) \qquad R = g^{ik} g^{jl} R_{ijkl} = 2 \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 K^{[2]}

Щоб узагальнити цю формулу на вищі степені, спробуємо замінити добуток двох метричних тензорів в формулі (11) на тензор метричної матрьошки четвертого рангу (дивіться статтю Одиничний антисиметричний тензор):

(12) \qquad g^{ijkl} R_{ijkl} = \begin{vmatrix} g^{ik} & g^{il} \\ g^{jk} & g^{jl} \end{vmatrix} R_{ijkl} = 
(g^{ik} g^{jl} - g^{il} g^{jk}) R_{ijkl} = 2 R = 4 K^{[2]}

Для подальших обчислень ми перейдемо в локальну декартову систему координат в одній з точок многовида P, та орієнтуємо її вздовж головних напрямків гіперповерхні. В точці P матриця метричного тензора буде одиничною:

(13) \qquad g_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{cases}

а тому ми можемо чисельно не розрізняти коваріантні та відповідні контраваріантні компоненти тензорів (верхні та нижні індекси). Тензор Рімана в точці P буде в деякому розумінні діагональним, а саме, його ненульові компоненти дорівнюють:

(14) \qquad R_{ijij} = -R_{ijji} = k^{(i)} k^{(j)} \qquad (i \ne j)

і дорівнюють нулю всі ті компоненти R_{ijkl}, де друга пара індексів (kl) не збігається з (ij) з точністю до перестановки в парі.

Ліва частина формули (12) є лінійною формою від тензора Рімана, а коефіцієнтами цієї форми служати компоненти тензора метричної матрьошки. Очевидним узагальненням є розгляд білінійної форми та форм вищих степенів від компонент тензора Рімана. Проведемо обчислення формули (12) ще раз і у такий спосіб, щоб ці обчислення можна було легко узагальнити. Маємо, враховуючи діагональність тензора Рімана:

(15) \qquad g^{ij}_{kl} R^{kl}_{ij} = \sum_{i,j} \left ( \sum_{k,l} g^{ij}_{kl} R^{kl}_{ij} \right ) = \sum_{i, j} \left ( g^{ij}_{ij} R^{ij}_{ij} + g^{ij}_{ji} R^{ji}_{ij} \right )

Далі, два доданки в правій частині формули (15) однакові внаслідок антисиметрії по індексам всередині пари як тензора метричної матрьошки, так тензора Рімана. Крім того, діагональна компонента метричної матрьошки дорівнює одиниці, оскільки (в наступній формулі додавання по однакових індексах не проводиться, а індекси i, j різні):

(16) \qquad g^{ij}_{ij} = \begin{vmatrix} \delta^i_i & \delta^i_j \\ \delta^j_i & \delta^j_j \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1

Враховуючи вищесказане і формулу (14), перетворюємо формулу (15) далі:

(17) \qquad g^{ij}_{kl} R^{kl}_{ij} = 2 \sum_{i \ne j} 1 \cdot k^{(i)} k^{(j)} = 2 \cdot 2! \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 \cdot 2! K^{[2]}

Тепер перейдемо до обчислення наступної квадратичної форми:

(18) \qquad \Phi_2(R) = g^{i_1 j_1 i_2 j_2}_{k_1 l_1 k_2 l_2} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} R^{k_2 l_2}_{i_2 j_2}

Коефіцієнтами цієї форми служать компоненти тензора метричної матрьошки восьмого рангу. Цей тензор має дві групи індексів, і є антисиметричним по перестановці індексів всередині цих груп. Обчислюємо аналогічно до формули (15).

(19) \qquad \Phi_2(R) = \sum_{i_1, j_1, i_2, j_2} \left ( \sum_{k_1, l_1, k_2, l_2} g^{i_1 j_1 i_2 j_2}_{k_1 l_1 k_2 l_2} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} R^{k_2 l_2}_{i_2 j_2} \right ) = 2^2 \sum_{i_1, j_1, i_2, j_2} g^{i_1 j_1 i_2 j_2}_{i_1 j_1 i_2 j_2} R^{i_1 j_1}_{i_1 j_1} R^{i_2 j_2}_{i_2 j_2}

Перепозначимо індекси i_1, j_1, i_2, j_2 на i,j,k,l для спрощення запису:

(19a) \qquad \Phi_2(R) = 2^2 \sum_{i, j, k, l} g^{ijkl}_{ijkl} R^{ij}_{ij} R^{kl}_{kl} = 2^2 4! \sum_{i, j, k, l \over all\; different} g^{ijkl}_{ijkl} k^{(i)} k^{(j)} k^{(k)} k^{(l)}

Всі чотири індекси i,j,k,l мають бути попарно різними, оскільки компоненти тензора метричної матрьошки дорівнюють нулю при наявності двох однакових індексів в одній группі. В правій сумі формули (19a) стоять діагональні компоненти тензора метричної матрьошки, які дорівнюють одиниці (аналогічно формулі 16).

(19b) \qquad \Phi_2(R) = 2^2 \sum_{i, j, k, l \over all\; different} k^{(i)} k^{(j)} k^{(k)} k^{(l)} = 2^2 \cdot 4! \sum_{i < j < k < l} k^{(i)} k^{(j)} k^{(k)} k^{(l)} = 2^2 \cdot 4! K^{[4]}

Множник 4! при переході до другої суми в формулі (19a) виник внаслідок того, що для одному доданку в правій сумі, який характеризується фіксовамим набором чотирьох різних чисел i < j < k < l, відповідає 4! = 24 однакових по величині доданка в лівій сумі, які характеризуються перестановками цих чотирьох чисел.

Формули (19), (19a), (19b) легко узагальнюються на форми вищих степенів. Таким чином одержуємо загальну формулу для знаходження кривин Гауса парного степеня 2 m:

(20) \qquad K^{[2 m]} = {1 \over 2^m (2 m)!} g^{i_1 j_1 \dots i_m j_m}_{k_1 l_1 \dots k_m l_m} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} \cdots R^{k_m l_m}_{i_m j_m}

Альтернативний вивід формули для кривин Гауса парного степеня[ред.ред. код]

Скористаємося наступним вираженням тензора Рімана через тензор повної кривини (дивіться статтю Гіперповерхня):

(21) \qquad R^{kl}_{ij} = b^k_i b^l_j - b^k_j b^l_i

і почнемо в формулі (10) групувати співмножники по два, наприклад починаючи з перших двох (тут ми вважаємо, що степінь 2 m кривини Гауса не менша двох (m \ge 1), і для спрощення запису опустимо позначення m):

(22) \qquad (2 m)! K = g^{i j \dots}_{k l \dots} b^k_i b^l_j \cdots = - g^{j i \dots}_{k l \dots} b^k_i b^l_j \cdots

Останнє перетворення справедливе внаслідок антисиметрії тензора метричної матрьошки щодо індексів в верхній групі. Далі, в останньому виразі поміняємо місцями індекси i, j:

(23) \qquad (2 m)! K = - g^{i j \dots}_{k l \dots} b^k_j b^l_i \cdots

Тепер додамо рівняння (22) і (23), при цьому врахувавши (21). Одержуємо, знову перепозначивши індекси:

(24) \qquad 2 (2 m)! K^{[2 m]} = g^{i_1 j_1 i_2 j_2 \dots i_m j_m}_{k_1 l_1 k_2 l_2 \dots k_m l_m} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} b^{k_2}_{i_2} \cdots b^{k_m}_{i_m} b^{l_m}_{j_m}

Множник 2 в лівій частині рівняння (24) зявився внаслідок групування двох множників b^{k_1}_{i_1} b^{l_1}_{j_1}. Очевидно, ми можемо аналогічним чином згрупувати попарно і решту співмножників, тоді в лівій частині ми одержимо множник 2^m, а в правій - вираз, в якому бере участь тільки тензор Рімана і тензор метричної матрьошки, тобто ми одержимо формулу (20).

Кривини Гауса непарного степеня[ред.ред. код]

Кривини Гауса непарного степеня також повязані з тензором Рімана, але складнішими формулами аніж (20). До того ж з цих формул кривина Гауса виражається неоднозначно через тензор Рімана. Оскільки тут багато нюансів, доцільно буде присвятити окрему статтю кривинам Гауса непарного степеня.

Значення кривин Гауса[ред.ред. код]

На початку ми дали означення кривини Гауса тільки для гіперповерхні (формули 2, 3). Але формула (20), як і формули для знаходження кривини Гауса непарного степеня, дають змогу поширити це поняття на довільні (абстрактні) многовиди. Таким чином ми можемо розглядати кривини Гауса як скалярні інваріанти тензора Рімана.

Внутрішня кривина многовида повністю описується тензором Рімана. Але сам по собі тензор - це складний об'єкт. Ми можемо поставити щодо кривини многовида три питання: яка (усереднена) величина цієї кривини, яка анізотропність, яка орієнтація цієї анізотропності. На перші два питання можна дати відповідь, проаналізувавши кривини Гауса, подібно до того як це робиться для лінійного оператора (тензора другого рангу) через коефіцієнти характеристичного многочлена.

Кривини Гауса, як скаляри, можна інтегрувати по об'єму всього многовида (дивіться статтю Інтеграли Гауса). Виявляється, що інтеграл від K^{[n]} є топологічним інваріантом n-мірного многовида (не змінюється при неперервній деформації многовида).

Джерела[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]