Кривина (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У диференціальній геометрії, кривина́ — збірна назва ряду кількісних характеристик (чисельних, векторних, тензорних), що описують відхилення того або іншого геометричного «об'єкта» (кривої, поверхні, риманова простору тощо) від відповідних «плоских» об'єктів (пряма, площина, евклідів простір тощо).

Зазвичай кривина визначається для кожної точки на «об'єкті» і виражається як значення деякого диференціального виразу 2-го порядку. Іноді кривина визначається в інтегральному смислі, наприклад як міра, такі визначення використовують для «об'єктів» зниженої гладкості. Як правило, тотожне перетворення на нуль кривини в усіх точках означає збіг (локальний, але не глобальний) «об'єкта», що вивчається, з «плоским» об'єктом.

У цій статті наводяться тільки декілька простих прикладів визначень поняття кривини.

Кривина кривої[ред.ред. код]

Нехай γ(t) — регулярна крива в d-мірному евклідовому просторі, що параметризується довжиною. Тоді

\kappa=|\ddot\gamma(t)|

називається кривиною кривої γ у точці p = γ(t), тут \ddot\gamma(t) позначає другу похідну по t. Вектор

k=\ddot\gamma(t)

називається вектором кривини γ в точці p = γ(t0).

float

Для кривої, заданій параметрично в загальному випадку (параметр не обов'язково є довжиною), кривина відображається формулою

\kappa=\frac{|\dot\gamma\times \ddot\gamma|}{|\dot\gamma|^3} ,

де \dot\gamma і \ddot\gamma відповідно позначають першу і другу похідну радіус-вектора γ у необхідній точці.

Для того, щоб крива γ збігалася з деяким відрізком прямої або зі всією прямою, необхідно і достатньо, щоб кривина (або вектор кривини) тотожно дорівнювала нулю.

Величина, обернена до кривини кривої (r=1/\kappa), називається радіусом кривини; він збігається з радіусом дотичного кола в даній точці кривої. Центр цього кола називається центром кривини.

Кривина поверхні[ред.ред. код]

Нехай \Phi — це регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі. Хай p — точка \Phi, T_p — дотична площина до \Phi у точці p, n — одинична нормаль до \Phi у точці p, а \pi_e — площина, що проходить через n і деякий одиничний вектор e в T_p. Крива \gamma_e, що виходить як перетин площини \pi_e з поверхнею \Phi, називається нормальним перетином поверхні \Phi у точці p у напрямі e. Величина

\kappa_e=k\cdot n

де \cdot позначає скалярний добуток, а k — вектор кривини \gamma_e у точці p, називається нормальною кривиною поверхні \Phi у напрямі e. З точністю до знаку нормальна кривина дорівнює кривині кривої \gamma_e.

У дотичній площині T_p існують два перпендикулярні напрями e_1 і e_2 такі, що нормальну кривину в довільному напрямі можна представити за допомогою так званої формули Ейлера:

\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha

де \alpha — кут між e_1 і e, a величини \kappa_1 і \kappa_2 нормальні кривини в напрямах e_1 і e_2, вони називаються головними кривинами, а напрями e_1 і e_2 — головними напрямами поверхні в точці p.

Головні кривини є екстремальними значеннями нормальних кривин.

Структуру нормальних кривин в даній точці поверхні зручно графічно зображати за допомогою індикатриси Дюпена.

Величина

H=\kappa_1+\kappa_2, (иноді \frac{\kappa_1+\kappa_2}2)

називається середньою кривиною поверхні.

Величина

K=\kappa_1\kappa_2

називається гаусовою кривиною поверхні. Гаусова кривина є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь, зокрема не змінюється при ізометричних вигинаннях.

Література[ред.ред. код]

Дивись також[ред.ред. код]