Криволінійний інтеграл

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл І роду

Основна стаття — Криволінійний інтеграл І роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму
$\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i$.
Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB. Нехай $\lambda=max \Delta l_i, 1 \le i \le n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ($n \rightarrow \infty$) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають
$\int _{AB} f(x; y)\, dl$ або $\int _{L} f(x; y)\, dl$.
Таким чином, за означенням
$\int _{AB} f(x; y)\, dl=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i$.

Криволінійний інтеграл ІІ роду

Основна стаття — Криволінійний інтеграл ІІ роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму
$\sum_{i=1}^n P(x_i; y_i)\Delta x_i$,
де $\Delta x_i - x_{i-1}$ — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x. Нехай $\lambda=max \Delta l_i, 1 \le i \le n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ($n \rightarrow \infty$) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають
$\int _{AB} P(x; y)\, dl$ або $\int _{L} P(x; y)\, dl$.
Таким чином, за означенням
$\int _{AB} P(x; y)\, dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n P(x_i; y_i)\Delta x_i$.
Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:
$\int _{AB} Q(x; y)\, dy=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n Q(x_i; y_i)\Delta y_i$,
де $\Delta y_i$ — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.
Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:
$\int _{AB}P(x; y)\, dx + Q(x; y)\, dy=\int _{AB}P(x; y)\, dx+\int _{AB}Q(x; y)\, dy$
Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:
$\int _{AB}P(x; y; z)\, dx + Q(x; y; z)\, dy + R(x; y; z)\, dz$