Криволінійний інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл І роду[ред.ред. код]

Основна стаття — Криволінійний інтеграл І роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму
\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i.
Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB. Нехай \lambda=max \Delta l_i, 1 \le i \le n — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо \lambda \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty ) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають
\int _{AB} f(x; y)\, dl або \int _{L} f(x; y)\, dl.
Таким чином, за означенням
\int _{AB} f(x; y)\, dl=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i.

Криволінійний інтеграл ІІ роду[ред.ред. код]

Основна стаття — Криволінійний інтеграл ІІ роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму
\sum_{i=1}^n P(x_i; y_i)\Delta x_i,
де \Delta x_i - x_{i-1} — проекція дуги Mi-1Mi на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x. Нехай \lambda=max \Delta l_i, 1 \le i \le n — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо \lambda \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty ) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (xi;yi), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають
\int _{AB} P(x; y)\, dl або \int _{L} P(x; y)\, dl.
Таким чином, за означенням
\int _{AB} P(x; y)\, dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n P(x_i; y_i)\Delta x_i.
Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:
\int _{AB} Q(x; y)\, dy=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n Q(x_i; y_i)\Delta y_i,
де \Delta y_i — проекція дуги Mi-1Mi на вісь Oy.
Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:
\int _{AB}P(x; y)\, dx + Q(x; y)\, dy=\int _{AB}P(x; y)\, dx+\int _{AB}Q(x; y)\, dy
Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:
\int _{AB}P(x; y; z)\, dx + Q(x; y; z)\, dy + R(x; y; z)\, dz