Криві другого порядку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінії другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого степеня:[1]

\ a_{11} x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33}=0,

де хоча б один з коефіцієнтів \ a_{11}, \; a_{12}, \; a_{22} відмінний від нуля.

Лінії другого порядку є конічними перерізами.

Інваріанти[ред.ред. код]

Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів:

  • інваріанти відносно повороту та зсуву системи координат:
    • \Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}
    • D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2
    • I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}
  • інваріант відносно повороту системи координат (напів-інваріант):
    • B=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix}

Основні типи[ред.ред. код]

Основними лініями другого порядку є коло, еліпс, гіпербола і парабола:[1]

Вид кривої Канонічне рівняння Інваріанти
Невироджені криві (\ \Delta\ne0)
еліпс \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \begin{array}{l} \Delta < 0 \\ D > 0 \\ I = a^2+b^2 \end{array}
гіпербола \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \begin{array}{l} \Delta > 0 \\ D < 0 \\ I = b^2 - a^2 \end{array}
парабола \ y^2=2px \begin{array}{l} \Delta > 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}
Вироджені криві (\ \Delta=0)
точка \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D > 0 \\ I = a^2+b^2 \end{array}
дві прямі що перетинаються \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D < 0 \\ I = b^2 - a^2 \end{array}
дві паралельні прямі \frac{x^2}{a^2}=1 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}
одна пряма \ x^2=0 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}
Порожня множина
уявний еліпс \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1 \begin{array}{l} \Delta > 0 \\ D > 0 \\ I = a^2+b^2 \end{array}
дві уявні паралельні прямі \frac{x^2}{a^2}=-1 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}

Історія та застосування[ред.ред. код]

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 

Див. також[ред.ред. код]