Критерій Ейзенштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Крите́рій Ейзенштейна — ознака незвідності многочлена в полі раціональних чисел.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай a(x)=\ a_0+a_1x+...+a_nx^n — многочлен з цілочисельними коефіцієнтами і для деякого простого числа p виконуються умови:

  • p\not|a_n,
  • ~p~|a_i для будь-якого і від 0 до n-1,
  • p^2\not|a_0.

Тоді многочлен a(x) є незвідним у полі \Q раціональних чисел.

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо що: \ a(x)=f(x)g(x), де \ f(x)=b_0+b_1x+...+b_kx^k та \ g(x)=c_0+c_1x+...+c_mx^m многочлени ненульових степенів над \Q. З леми Гауса випливає, що їх можна розглядати як многочлени над \Z. Маємо:

\ a_0 = b_0 c_0

По умові p|a_0, тому або p|b_0 або p|c_0, але не те і інше разом оскільки p^2\not|a_0. Нехай p|b_0 і p\not|c_0. Всі коефіцієнти f(x) не можуть ділитися на p, оскільки інакше б це було б вірно і для a(x). Нехай i — мінімальний індекс, для якого b_i не ділиться на p. Маємо:

a_i=b_ic_0+b_{i-1}c_1+...

Оскільки p|a_i і p|b_j для всіх j<i то p|b_ic_0, але це неможливо, оскільки по умові p\not|c_0 і p\not|b_i. Теорема доведена.

Приклади[ред.ред. код]

  • Многочлен \ x^3+2 є незвідним в \Q, з цього виходить неможливість вирішення задачі про подвоєння куба
  • Многочлен \ f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...1 є незвідним в \Q . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен f(x+1)=\frac {(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1}=x^{p-1}+{C_p}^1x^{p-2}+...{C_p}^{p-1}, а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є біноміальними, тобто діляться на p p|{C_p}^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}, а останній коефіцієнт {C_p}^{p-1}=p до того ж не ділиться на p^2, то згідно з критерієм Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
  • Многочлен \ x^3+4 над \Q є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це p=2, але 4 ділиться на 2^2 — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.

Узагальнення[ред.ред. код]

Нехай Dфакторіальне кільце і f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i — многочлен над D.

Нехай PDпростий ідеал, такий що:

  • aiP для in,
  • anP,
  • a0P2 (де P2 добуток ідеалу).

Тоді f(x) є незвідним в F[x], де Fполе часток D.

Посилання[ред.ред. код]