Критерій узгодженості Пірсона

Критерій узгодженості Пірсона - один з найвідоміших критеріїв $\chi^2$, тому його часто і називають просто "критерій хі-квадрат". Використовується для перевірки гіпотези про закон розподілу.

Ґрунтується на групованих даних. Область значень передбачуваного розподілу $\digamma_1$ ділять на деяке число інтервалів.
Після чого будують функцію відхилення ρ по різницях теоретичних імовірностей попадання в інтервали групування й емпіричних частот.

Нехай X=(X₁,…, X_n) — вибірка з розподілу $\digamma$. Перевіряється проста гіпотеза $H_1={\digamma = \digamma_1}$ проти складної альтернативи $H_2={\digamma \ne \digamma_1}$.
Нехай A₁,…, A_k — інтервали групування в області значень випадкової величини з розподілом $\digamma_1$.
Позначимо для j=1,…,k через $\nu_j$ число елементів вибірки, що потрапили в інтервал $A_j$:
$\nu_j=(X_i \in A_j) = \sum_{i=1}^{n} I(X_i \in A_j)$,

і через $p_j>0$ — теоретичну ймовірність $P_{H1}(X_1 \in A_j)$ попадання в інтервал $A_j$ випадкової величини з розподілом $\digamma_1$.
З необхідністю, $p_1+...+p_k=1$.
Як правило, довжини інтервалів вибирають так, щоб $p_1=...=p_k= \frac{1}{k}$.
Нехай $\rho(X)=\sum_{j=1}{k} \frac{(\nu_j-np_j)^2}{np_j}$ (1).

Зауваження

Якщо розподіл вибірки $\digamma_2 \ne \digamma_1$ має такі ж, як в $\digamma_1$, імовірності $p_j$ попадання в кожний з інтервалів $A_l$, то по даній функції $\rho$ці розподіли розрізнити неможливо.
Тому насправді критерій, який ми побудуємо по функції $\rho$з (1), вирішує зовсім інше завдання. А саме, нехай заданий набір імовірностей $p_1,...,p_k$ такий, що $p_1+...+p_k=1$. Критерій $\chi^2$ призначений для перевірки складної гіпотези H₂^'={розподіл Х₁ має властивість: Р(Х₁ ∈ А_j)=p_j для всіх j=1,…,k} проти складної альтернативи H₂^'={H₁^' невірна}, тобто H₂^'={хоча б для одного з інтервалів ймовірність P(X₁ ∈ А_j) відізняється від p_j}

Правило критерію

Перед тим, як сформулювати правило прийняття або відкидання гіпотези необхідно врахувати, що критерій Пірсона має правобічну критичну область.

Правило. Якщо отримана статистика перевищує квантиль розподілу $\chi^2\!$ заданого рівня значимості $\alpha\!$ з $(k-1)\!$ або з $(k-p-1)\!$ ступенями вільності, де k — число спостережень або число інтервалів (для випадку інтервального варіаційного ряду), а p — число оцінюваних параметрів закону розподілу, то гіпотеза $H_0\!$ відкидається. А якщо ні, то гіпотеза приймається на заданому рівні значимості $\alpha\!$.

Теорема Пірсона

Якщо вірна гіпотеза H₁^', то при фіксованому k й при $n \to \infty$: $\rho(X)=\sum_{j=1}^{k} \frac{(\nu_j-np_j)^2}{np_j} \Rightarrow H_{k-1},$

де, нагадаємо,$H_{k-1},$ є $\chi^2$-розподіл зі $k-1$ ступенем вільності.

Зауваження

Насправді критерій $\chi^2$ застосовують і для розв'язку первісного завдання про перевірку гіпотези $H_1={\digamma=\digamma_1}$. Необхідно тільки пам'ятати, що цей критерій не заможний для альтернатив з тими ж імовірностями попадання в інтервали розбиття, що й в $\digamma_1$. Тому беруть велику кількість інтервалів розбиття — чим більше, тим краще, щоб «зменшити» число альтернатив, нерозрізнених з передбачуваним розподілом.

Критерій Пірсона для перевірки параметричної гіпотези

Критерій $\chi^2$ часто застосовують для перевірки гіпотези про вид розподілу, тобто про приналежність розподілу вибірки деякому параметричному сімейству. Є вибірка $X=(X_1,...,X_n)$ з невідомого розподілу$\digamma$ .
Перевіряється складна гіпотеза: $H_1={\digamma \in {\digamma_\theta}}$,

де $\theta \epsilon \Theta \subseteq \mathbb{R}^l$ — невідомий параметр (скалярний або векторний), l- його розмірність.
Нехай $\mathbb{R}$ розбите на k>lінтервалів $A_1 \cup ... \cup A_k$, і $\nu_j$ — число елементів вибірки, що потрапили в$A_j$. Але ймовірність $p_j=P_{H1}(X_1 \in A_j)=p_j(\theta)$ тепер залежить від невідомого параметра .
Функція відхилення (1) також залежить від невідомого параметра, і використовувати її в критерії Пірсона не можна — ми не можемо обчислити її значення: $\rho(X,\theta)=\sum_{j=1}{k} \frac{(\nu_j-np_j(\theta))^2}{np_j(\theta)}$(2.)
Нехай $\hat \theta=\hat \theta(X)$- значення параметра $\theta$, що доставляє мінімум функції $\rho(X,\theta)$ при даній вибірці X .
Підставивши замість дійсних імовірностей p_jїх оцінки $p_j(\hat \theta)$ , одержимо функцію відхилення:$\rho(X, \hat \theta)=\sum_{j=1}{k} \frac{(\nu_j-np_j( \hat \theta))^2}{np_j( \hat \theta)}$.

Див. також

• Критерій узгодженості Колмогорова

Література

• Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.