Критична точка (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Критичною точкою диференційовної функції  f:D\to \R , де D \,  — область в \ R^n , називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють 0. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої  \, C^1 -гладкої функції  f: [a, b] \to \R має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції  f = const будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень  f: \R^n \to \R^m , і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді  f: N^n \to M^m . У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення  f у ній менший максимального можливого (що дорівнює \min \{n, m \} ).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення) f: \R^n\to\R^m називається така точка x_0 \in \R^n, в котрій диференціал f_*=\frac{\partial f}{\partial x} є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках x_0 і f(x_0), тобто розмірність образу f_* менша \min \{n,m\}. В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції f, складеної із всіх часткових похідних \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0), i=1,\ldots,n, j=1,\ldots,m, менший свого максимально можливого значення \min \{n,m\}.

Простори \R^n і \R^m в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди N^n і M^m таких же розмірностей.

Випадок  m = 1 [ред.ред. код]

У разі  m = 1 дане визначення означає, що градієнт  \nabla f = (f'_{x_1}, \ldots, f'_{x_n}) у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку  n = m = 1 це означає, що похідна  f ' у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан  \Bigl| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \Bigr| відмінний від нуля. Якщо  f має клас гладкості не нижче  C^3 , то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція  f (x) має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При  m = 1 має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція  f , визначена у всьому просторі  \R^n або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця  \Bigl (\frac {\partial^2 f} {\partial x^2} \Bigr) = \Bigl(\frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \Bigr),  i, j = 1, \ldots, n, у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

Література[ред.ред. код]

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — будь-яке видання.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — будь-яке видання.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — будь-яке видання.

Додатково[ред.ред. код]