Критична точка (математика)

Критичною точкою диференційовної функції $f:D\to \R$, де $D \,$ — область в $\ R^n$, називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють нулю. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої $\, C^1$-гладкої функції $f: [a, b] \to \R$ має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції $f = const$ будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень $f: \R^n \to \R^m$, і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді $f: N^n \to M^m$. У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення $f$ у ній менший максимального можливого (що дорівнює $\min \{n, m \}$).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначення

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення) $f: \R^n\to\R^m$ називається така точка $x_0 \in \R^n$, в котрій диференціал $f_*=\frac{\partial f}{\partial x}$ є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках $x_0$ і $f(x_0)$, тобто розмірність образу $f_*$ менша $\min \{n,m\}$. В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції $f$, складеної із всіх часткових похідних $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0),$ $i=1,\ldots,n,$ $j=1,\ldots,m,$ менший свого максимально можливого значення $\min \{n,m\}$.

Простори $\R^n$ і $\R^m$ в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди $N^n$ і $M^m$ таких же розмірностей.

Випадок $m = 1$

У разі $m = 1$ дане визначення означає, що градієнт $\nabla f = (f'_{x_1}, \ldots, f'_{x_n})$ у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку $n = m = 1$ це означає, що похідна $f '$ у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан $\Bigl| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \Bigr|$ відмінний від нуля. Якщо $f$ має клас гладкості не нижче $C^3$, то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція $f (x)$ має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При $m = 1$ має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція $f$, визначена у всьому просторі $\R^n$ або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця $\Bigl (\frac {\partial^2 f} {\partial x^2} \Bigr) = \Bigl(\frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \Bigr),$ $i, j = 1, \ldots, n,$ у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

Література

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — будь-яке видання.
• Зорич В. А. Математический анализ, — будь-яке видання.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — будь-яке видання.

Додатково

• Лема Ферма
• Індекс критичної точки