Кругове поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кругове поле (поле поділу кола) — поле K_n = \Q(\zeta_n), що одержується приєднанням до поля \Q раціональних чисел первісного кореня \zeta_n з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду \Q_p(\zeta_n), де \Q_p — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки K_n = K_{2n} при непарному n, звичайно вважається, що n \neq 2 \pmod{4}.

Тоді різним n відповідають неізоморфні поля K_n.

Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кругове поле є полем розкладу многочлена X^n - 1.\,
  • Кругові поля природно виникають в задачі про поділ кола — поділ кола на n рівних частин еквівалентний побудові на комплексній площині первісного кореня \zeta_n.
  • Місце кругових полів серед всіх полів алгебраїчних чисел визначає теорема Кронекера — Вебера, що стверджує, що скінченне розширення K/Q є абелевим тоді і тільки тоді, коли K \subset K_n для деякого n. Аналогічне твердження виконується і для локальних кругових полів.
  • Поле K_n є абелевим розширенням поля \Q з групою Галуа
G (K_n / \Q) \simeq (\Z/n\Z)^*,
де (\Z/n\Z)^* — мультиплікативна група кільця лишків по модулю n.
  • Степінь [K_n : \Q] розширення рівний φ(n), де φ(n) — функція Ейлера.
  • Поле K_n є цілком уявним і має степінь 2 над своїм максимальним цілком дійсним підполем K_n^+ = \mathbb Q (\zeta_n +\zeta_n^{-1}).
  • Числа 1, \zeta_n, \ldots, \zeta_n^{\varphi(n) - 1} утворюють цілочисельний базис поля K_n.
  • Дискримінант поля \mathbb{Q}(\zeta_n) рівний: (-1)^{\phi(n)/2}\frac{n^{\phi(n)}}{\prod_{p\mid n} p^{\phi(n)/(p-1)}}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Круговое поле. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1982
  • Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
  • Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
  • Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4