Кубічне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Кубічні рівняння)
Перейти до: навігація, пошук

Кубі́чне рівня́нняалгебраїчне рівняння виду

\ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, де \ a\ne 0.

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду

\ z^3+pz+q=0.

Це можна зробити шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт \ a, після чого провівши заміну змінної x=z-\frac{b}{3a}.

При цьому коефіцієнти будуть рівні:

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a},
p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}.

Метод Кардано[ред.ред. код]

Докладніше: Формула Кардано

Введемо дві змінні \ u та \ v, такі що

\ z = u+v,

підставивши їх в рівняння отримаємо

\ u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q = 0.

введемо додаткову умову для змінних, а саме:

\ 3uv + p = 0,

підставивши її в рівняння, та використавши uv=-\frac{p}{3}, отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно \ u^3 наступним чином:

\ u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0, \qquad u^3 = -{q\over 2}\pm \sqrt{D}, \qquad D = {q^2\over 4}+{p^3\over 27}.

Всього є три розв'язки рівняння \ z^3+pz+q=0, один з них є

z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{D}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{D}}.

Якщо p,q \in \R та:

  • \ D>0, то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.
  • \ D<0, то всі три корені рівняння є різними дійсними числами.
  • \ D=0, то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

Приклад[ред.ред. код]

Розв'яжемо рівняння \ z^3-z=0, з очевидними коренями -1, 0, +1:

D = {0^2\over 4}+{-1^3\over 27} = -{1\over 27}<0.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]