Кубічні сплайни Ерміта

Базис для кубічних ермітових сплайнів.

Кубічні сплайни Ерміта — кубічні сплайни, що використовують інтерполювання поліномами методом Ерміта. Даний метод інтерполювання використовує дві контрольні точки та два вектора напрямків.

Названі на честь французького математика Шарля Ерміта.

Інтерполяція на інтервалі

Інтерполяція Ерміта.

Інтерполяція на інтервалі (0,1)

Задано стартову точку p₀ при t=0 та кінцеву точку p₁ при t=1 з початковим вектором m₀ при $t=0$ та кінцевим вектором m₁ при $t=1$, тоді поліном визначається як

$\mathbf{p}(t) = h_{00}(t)\mathbf{p_0} + h_{10}(t)\mathbf{m_0} + h_{01}(t)\mathbf{p_1} + h_{11}(t)\mathbf{m_1}, \qquad t \in [0, 1]$

Чотири базові ермітові поліноми визначаються як

$\begin{matrix} h_{00}(t) & = & 2t^3-3t^2+1 & = &( 1 - t)^2 (1 + 2 t) \\ h_{01}(t) & = & -2t^3+3t^2 & = & t^2 (3 - 2 t) \\ h_{10}(t) & = & t^3-2t^2+t & = & t ( 1 - t)^2 \\ h_{11}(t) & = & t^3-t^2 & = & t^2 (t - 1) \\ \end{matrix}$

f(t)	f(0)	f(1)	f'(0)	f'(1)
$\ h_{00}(t)$	1	0	0	0
$\ h_{01}(t)$	0	1	0	0
$\ h_{10}(t)$	0	0	1	0
$\ h_{11}(t)$	0	0	0	1
$\mathbf{p}(t)$	$\mathbf{p_0}$	$\mathbf{p_1}$	$\mathbf{m_0}$	$\mathbf{m_1}$

Існують такі властивості симетрії:

$\ h_{00}(t) + h_{01}(t) = 1$ — симетрія відносно осі y=1/2,

$\ h_{00}(t) = h_{01}(1-t)$ — симетрія відносно осі x=1/2,

$\ h_{10}(t) = -h_{11}(1-t)$ — симетрія відносно точки (0, 1/2).

Інтерполяція на інтервалі $(x_k \,, \; x_{k+1})$

Інтерполяція на цьому інтервалі задається формулою

$\mathbf{p}(x) = h_{00}(t)\mathbf{p_0} + h_{10}(t)h\mathbf{m_0} + h_{01}(t)\mathbf{p_1} + h_{11}(t)h\mathbf{m_1}, \qquad h = x_{k+1}-x_k, \qquad t = (x-x_k)/h.$

Зв'язок з кривими Без'є

Чотири базові ермітові поліноми легко виразити через поліноми Бернштейна, що є базисними для кривих Без'є

$\begin{matrix} h_{00}(t) & = & ( 1 - t)^2 (1 + 2 t) & = & ( 1 - t)^3 + 3t( 1 - t)^2 & = & \mathbf{b}_{0,3}(t) + \mathbf{b}_{1,3}(t) \\ h_{01}(t) & = & t^2 (3 - 2 t) & = & t^3 + 3t^2 (1 - t) & = & \mathbf{b}_{3,3}(t) + \mathbf{b}_{2,3}(t) \\ h_{10}(t) & = & t ( 1 - t)^2 & = & & & \mathbf{b}_{1,3}(t) / 3 \\ h_{11}(t) & = & t^2 (t - 1) & = & & & -\mathbf{b}_{2,3}(t) / 3\\ \end{matrix}$

Тому кубічний сплайн Ерміта з параметрами

$\mathbf{\left( p_0, p_1, m_0, m_1 \right)}$

аналогічний кубічній кривій Без'є з опорними вершинами

$\mathbf{\left( p_0, p_1, p_0+\frac{m_0}3, p_1-\frac{m_1}3 \right)}.$

Інтерполяція сплайном

Інтерполяції набору точок $(x_k,\boldsymbol{p}_k)$ для $\ k=1,\ldots ,n$, здійснюється для кожного інтервалу, і параметри для однієї точки в різних інтервалах вибираються одинаковими. Інтерполяційний сплайн отримується неперервно-диференційовним на $\ (x_1, x_n).$

Існують декілька способів задання параметрів.

Кінцеві різниці

Найпростіший спосіб із застосуванням трьох контрольних точок:

$\boldsymbol{m}_k = \frac{\boldsymbol{p}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}}{2(x_{k+1}-x_{k})} + \frac{\boldsymbol{p}_{k}-\boldsymbol{p}_{k-1}}{2(x_{k}-x_{k-1})}$

для індексів $k=2,\ldots,n-1$, і односторонні різниці на кінцях.

Кардинальні сплайни

$\boldsymbol{m}_k = (1-c)\frac{\boldsymbol{p}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k-1}}{2}$

Параметр $c \in (0,1)$.

Сплайни Кетмал-Рома

$\boldsymbol{m}_k = \frac{\boldsymbol{p}_{k+1} - \boldsymbol{p}_{k-1}}{2}$