Куб (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
y=x³, при цілих значеннях x на відрізку від 1 до 25

Ку́бом числа називається результат множення числа самого на себе тричі (піднесення числа до степеня 3)[1].

Позначення[ред.ред. код]

Куб величини x записується так:

x^3.

Позначення «³» (читається: в кубі або у третьому степені, при означеннях об'ємів — вживається термін кубічних одиниць) — означає математичну операцію піднесення до степеня 3 та використовується при позначенні об'ємів таких як м³ (метр кубічний або кубометр) чи км³ (кілометр кубічний) тощо.

Куб числа типографічно може записуватись як окремий знак шрифту (³) або як цифра 3 у верхньому індексі (3). В документах HTML використовується код ³ або ³.

Числова послідовність кубів[ред.ред. код]

Нижче наведено початок числової послідовності для кубів невід'ємних чисел (Послідовність A000578 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей):

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сума кубів перших n додатніх натуральних чисел обчислюється за формулою: \sum_{i=1}^n i^3  = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac {n(n+1)}{2}\right)^2

Доведення формули[ред.ред. код]

Формулу суми кубів можна отримати, на основі таблиці множення і формули суми арифметичної прогресії[2]. Розглядаючи як ілюстрацію методу дві таблиці множення 5×5, наведемо міркування для таблиць розміром n×n.

Таблиця множення і куби чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблиця множення і арифметична прогресія
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сума чисел в k-ій (k=1,2,…) виділеній області першої таблиці:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

А сума чисел в k-ої (k=1,2,…) виділеної області другої таблиці, що є арифметичною прогресією:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Провівши сумування по всіх виділених областях першої таблиці, отримаємо таке ж число, як і при сумування по всіх виділених областях другої таблиці:

\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=1}^n k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{k=1}^n k=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Геометричний зміст[ред.ред. код]

Куб числа відповідає значенню об'єму куба з довжиною ребра, за величиною рівною цьому числу.

Деякі властивості[ред.ред. код]

  • У десятковому записі куб числа може закінчуватись на будь-яку цифру (на відміну від квадрата)
  • У десятковій системі двома останніми цифрами куба числа можуть бути 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежність передостанньої цифри куба від останньої можна подати у вигляді наступної таблиці:
остання
цифра
передостаня
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 парна
2, 6 непарна
1, 3, 7, 9 будь-яка

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. С.28 — 29
  2. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 1923. — С. 68—70.

Джерела[ред.ред. код]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — 832 с.