Кусково-лінійна функція

Кусково-лінійна функція

Функція (синя) і її кусково-лінійна апроксимація (червона).

Кусково-лінійна функція у двох вимірах (вгорі) й опуклі багатогранники, на яких вона лінійна (внизу).

Кусково-лінійна функція — функція, визначена на множині дійсних чисел, лінійна на кожному з інтервалів, що становлять область визначення.

Формальне визначення й задавання

Нехай задані $x_1<x_2<\ldots<x_n$ — точки зміни формул.

Як і всі кусково-задані функції, кусково-лінійну функцію зазвичай задають на кожному з інтервалів $(-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty)$ окремою формулою. Записують це у вигляді: $f(x)= \begin{cases} k_0 x+b_0,\quad x<x_1\\ k_1 x+b_1,\quad x_1<x<x_2\\ \cdots\\ k_n x+b_n,\quad x_n<x \end{cases}$

Якщо до того ж виконані умови узгодження

$a_ix_i+b_i=a_{i+1}x_i+b_{i+1}=f(x_i)$ при $i=1,2,\ldots,n$,

то кусково-лінійна функція буде неперервною. Неперервна кусково-лінійна функція називається також лінійним сплайном.

Альтернативне задавання

Можна довести, що будь-яку неперервну кусково-лінійну функцію можна задати деякою формулою виду

$f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|$.

При цьому всі коефіцієнти, крім b, можна виразити через кутові коефіцієнти нахилу прямих на окремих інтервалах:

$c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}$, при $i=1,2,\ldots,n$

$a=\frac{k_0+k_n}{2}$

Властивості

• Будь-яку неперервну функцію можна апроксимувати як завгодно близько кусково-лінійною функцією (у безперервній метриці).

Див. також

• Лінійна інтерполяція
• Сплайн-інтерполяція

Джерела

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 272—274. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Кусково-лінійні функції у словнику

Посилання

• Завдання за темою Кусково-лінійні функції