Кусково-лінійна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Кусково-лінійна функція
Функція (синя) і її кусково-лінійна апроксимація (червона).
Кусково-лінійна функція у двох вимірах (вгорі) й опуклі багатогранники, на яких вона лінійна (внизу).

Кусково-лінійна функція — функція, визначена на множині дійсних чисел, лінійна на кожному з інтервалів, що становлять область визначення.

Формальне визначення й задавання[ред.ред. код]

Нехай задані x_1<x_2<\ldots<x_n — точки зміни формул.

Як і всі кусково-задані функції, кусково-лінійну функцію зазвичай задають на кожному з інтервалів (-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty) окремою формулою. Записують це у вигляді: 
f(x)=
\begin{cases}
  k_0 x+b_0,\quad x<x_1\\
  k_1 x+b_1,\quad x_1<x<x_2\\
  \cdots\\
  k_n x+b_n,\quad x_n<x
\end{cases}

Якщо до того ж виконані умови узгодження

a_ix_i+b_i=a_{i+1}x_i+b_{i+1}=f(x_i) при i=1,2,\ldots,n,

то кусково-лінійна функція буде неперервною. Неперервна кусково-лінійна функція називається також лінійним сплайном.

Альтернативне задавання[ред.ред. код]

Можна довести, що будь-яку неперервну кусково-лінійну функцію можна задати деякою формулою виду

f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|.

При цьому всі коефіцієнти, крім b, можна виразити через кутові коефіцієнти нахилу прямих на окремих інтервалах:

c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}, при i=1,2,\ldots,n
a=\frac{k_0+k_n}{2}

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яку неперервну функцію можна апроксимувати як завгодно близько кусково-лінійною функцією (у безперервній метриці).

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]