Кільце (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями подібними до додавання і множення цілих чисел. Вивченням властивостей кілець присв'ячена Теорія кілець.

Зміст

1 Означення та нотація
2 Приклади
3 Властивості кілець
4 Ідеали
5 Евклідові кільця та кільця головних ідеалів
6 Конструювання нових кілець з даних
7 Дивіться також

[ред.] Означення та нотація

Кільце $\ R$ — це множина з двома бінарними операціями, що звичайно позначаються " $\ +$ " та " $\ \cdot$ " і називаються додаванням та множенням, яка задовільняє наступній системі аксіом:

$\ (R,+)$ є комутативною групою. Її називають адитивною групою кільця і нейтральний елемент в ній позначають як 0 (нуль);
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c, \quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (дистрибутивність додавання відносно множення);
$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ (асоціативність множення);
в $\ (R,\cdot)$ існує нейтральний елемент 1 (одиниця), що задовільняє: $a\cdot 1=1\cdot a=a.$

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення надходять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють на вимогу комутативності множення $a\cdot b=b\cdot a,$ називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ $\cdot$ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, $a + b c$ є скороченим записом $a+b\cdot c$ .

Якщо для двох елементів кільця $a$ та $b$ виконується рівність $a b = b a = 1,$ то кажуть, що $b$ є оберненим елементом до $a$ відносно множення. В цьому випадку елемент $b$ однозначно визначається елементом $a$ і позначається $b = a - 1$ (звичайно, маємо також, що $a = b - 1$ ).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з $a b = 0$ витікає, що або $a = 0$ , або $b = 0$ , то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

[ред.] Приклади

Цілі числа $\mathbb{Z}$ із звичайними додаванням і множенням утворюють комутативне кільце.

Якщо $N$ — будь-яке натуральне число, то множина $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ залишків $(\operatorname{mod}N)$ утворює комутативне кільце з $N$ елементів. Якщо $N = p$ — просте число, то $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ є полем.

Раціональні, дійсні та комплексні числа є полями, тобто комутативними кільцями, у яких кожний ненульовий елемент має обернений.

Поліноми однієї змінної $x$ із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається $\mathbb{Z}[x].$ Додавання та множення поліномів — почлінні, тобто

$(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0)+(b_n x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots+(a_0+b_0),$ $(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0)+(b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\ldots+b_0)= a_n b_m x^{n+m}+(a_n b_{m-1}+a_{n-1} b_m) x^{n+m-1}+\ldots+a_0 b_0.$

Так само, комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної із раціональними, дійсними, або комплексними коефіцієнтами.

Для будь-якого натурального $N$ , множина всіх $N\times N$ матриць із цілими елементами утворює кільце, що позначається $M_{N}(\mathbb{Z}).$ Це кільце — некомутативне, якщо $N\geq 2.$

Кватерніони — це ще одне некомутативне кільце. На відміну від матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.

Групова алгебра $\mathbb{Z}[G]$ довільної групи $G$ — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце $\mathbb{Z}[G]$ — комутативне тоді і тільки тоді, коли $G$ — комутативна група.

[ред.] Властивості кілець

якщо кільце містить більше одного елемента, то $\ 0 \ne 1$
$0\cdot a=a\cdot 0=0$
$(-1)\cdot a= -a$
$\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},$ якщо $\ a$ і $\ b$ обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається $\ R^{\times}$ .

Наприклад, $\mathbb{Z}^{\times}=\{1,-1\}\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ — циклічна група порядка

2.

[ред.] Ідеали

Непорожня підмножина I кільця R називається правим ідеалом, якщо:

з $a,b \in I$ витікає $a-b \in I$ ;
з $a \in I$ витікає $a r \in I$ для будь-якого $r \in R$ . Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні $a r$ .

Ліві ідеали визначаються схожим чином, з заміною правих кратних на ліві кратні $r a$ .
Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.
Для комутативних кілець усі три поняття співпадають, тож говорять просто про ідеал.

Приклади ідеалів в комутативних кільцях:

Нульовий ідеал, що містить лише нуль;
Одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця;
Ідеал $(a)$ , породжений елементом $a$ , що складається з усіх його кратних елементів $r a$ , де $r \in R$ .

Цей ідеал є найменшим серед ідеалів, які містять елемент $a$ . Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент $a$
Наприклад, ідеал $(2)$ у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел.
Схожим чином можна побудувати ідеал $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ , породжений кількома елементами $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , як сукупність сум вигляду $\sum{r_i a_i}$ , де $r_i \in R$ , або як перетин усіх ідеалів кільця R, які містять елементи $a_1,a_2,\ldots,a_n$ . У цьому випадку кажуть, що елементи $a_1,a_2,\ldots,a_n$ складають базис цього ідеалу.
Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали є завжди головними, бо вони породжуються нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа у кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) - найбільшому спільному дільникові.

[ред.] Евклідові кільця та кільця головних ідеалів

Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента $a \ne 0$ визначено число $g(a) \ge 0$ з наступними властивостями:

Для будь-яких елементів кільця $ab \ne 0$ , $b \ne 0$ справедливо $g(ab) \ge g(a)$ .
Якщо елемент $a \ne 0$ , то будь-який елемент $b$ можна представити у вигляді

b = a q + r

,

де або $r = 0$ , або $g (r) < g (a)$ .
Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел $g (a) = | a |$ (абсолютна величина), для многочленів $g (a) = deg(a)$ (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгорітм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгорітм Евкліда. Цей алгорітм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести наступну теорему.

Теорема. В евклидовому кільці кожен ідеал є головним.

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називаеться кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклидове кільце є кільцем головних ідеалів.

[ред.] Конструювання нових кілець з даних

Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*).
Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного r ∈ R. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R.
Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями

(r₁, s₁) + (r₂, s₂) = (r₁+r₂, s₁+s₂) та

(r₁, s₁) * (r₂, s₂) = (r₁*r₂, s₁*s₂).

Якщо дано кільце R та ідеал I кільця R, кільцо відношень (або фактор-кільце) R/I є множиною суміжних класів I разом з операціями

(a+I) + (b+I) = (a+b) + I та

(a+I) * (b+I) = (a*b) + I.

Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток R над кільцем S з іншим кільцем T і отримати інше кільце, якщо S є центральним підкільцем R та T.
До будь-якого кільця R, можна приєднати змінну x і отримати $R [x]$ - кільце многочленів над R. Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати $R[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ - кільце многочленів від $n$ змінних над кільцем R.

[ред.] Дивіться також

Кільце (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Означення та нотація

[ред.] Приклади

[ред.] Властивості кілець

[ред.] Ідеали

[ред.] Евклідові кільця та кільця головних ідеалів

[ред.] Конструювання нових кілець з даних

[ред.] Дивіться також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами