Кільце Безу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце Безу (назване на честь французького математика Етьєна Безу) — область цілісності, в якій кожен скінченнопорождений ідеал є головним. З цього визначення випливає, що кільце Безу нетерове тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів, узагальненням яких і є кільця Безу.

Властивості[ред.ред. код]

Цілісне кільце є кільцем Безу тоді і тільки тоді, коли в цьому кільці будь-які два елементи мають найбільший спільний дільник (НОД), що записується у вигляді їх лінійної комбінації. Ця умова означає, що кожен ідеал з двома твірними допускає одну твірну, з чого по індукції виводиться, що кожен скінченнопорождений ідеал є головним. Представлення НОД двох елементів їх лінійною комбінацією часто називають тотожністю Безу. Також в кільці Безу для скінченної кількості елементів визначене найменше спільне кратне.

Для кільця Безу R наступні умови еквівалентні:

  1. Rкільце головних ідеалів.
  2. Rнетерово.
  3. R — область з однозначним розкладом (факторіальне кільце).
  4. R задовольняє умові обриву зростаючих ланцюгів головних ідеалів.
  5. Довільний елемент R розкладається в добуток незвідних елементів.

Кільце Безу є цілозамкнутим і його локалізація (тобто кільце часток) знову є кільцем Безу.

Як і для кілець головних ідеалів, скінченнопорождений модуль над кільцем Безу є прямою сумою модуля кручення і вільного модуля.

Приклади[ред.ред. код]

Приклади не нетерових кілець Безу:

Джерела[ред.ред. код]