Кільце Круля

Кільце Круля — комутативна область цілісності R, для якої виконуються умови. Якщо $P$ множина простих ідеалів висота яких рівна одиниці то:

1. $R_{\mathfrak{p}}$ є кільцем дискретного нормування для всіх $\mathfrak{p} \in P$,
2. Кожен ненульовий головний ідеал є перетином скінченної кількості примарних ідеалів висоти один.

Кільця Круля були розглянуті Вольфгангом Крулем під назвою кілець скінченного дискретного головного порядку. Вони є найприроднішим класом кілець, в яких існує теорія дивізорів.

Приклади

• Будь-яке цілозамкнуте кільце Нетер, зокрема кільце Дедекінда, є кільцем Круля.
• $\ R[x_1, x_2, x_3, \ldots]$ кільце многочленів від нескінченної кількості змінних є прикладом кільця Круля, що не є нетеровим.
• Будь-яке факторіальне кільце є кільцем Круля. Для того, щоб кільце Круля було факторіальним, необхідно і достатньо, щоб будь-який його простий ідеал висоти 1 був головним.

Властивості

• Кільце Круля є цілком цілозамкнутим.
• Клас кілець Круля замкнутий щодо операцій локалізації, переходу до кільця многочленів або формальних степеневих рядів, а також цілого замикання в скінченному розширенні поля часток.

Література

• Бурбаки Н. (1971). Коммутативная алгебра. Москва: Мир. с. 707. 
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9