Кільце Нетер

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце Нетер — в абстрактній алгебрі це таке асоціативне кільце з одиницею для якого справджується наступне твердження: нехай маємо деяку зростаючу послідовність ідеалів кільця:

I_1 \,\subseteq\, I_2 \,\subseteq\, I_3 \,\subseteq\, \cdots,

тоді існує таке n для якого:

I_n \,=\, I_{n+1} \,=\, I_{n+2} \,=\, \cdots.

Якщо ідеали в означенні ліві, то кільце називається лівим кільцем Нетер, якщо праві  - правим кільцем Нетер. Якщо твердження виконується і для лівих і для правих ідеалів то кільце просто називається кільцем Нетер. Дані кільця названі на честь німецького математика Еммі Нетер (нім. Emmy Noether).

Альтернативні означення[ред.ред. код]

Наступні два твердження є еквівалентними до означення кільця Нетер і, відповідно, самі можуть бути означеннями:

  • Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожна непуста множина його ідеалів має максимальний елемент.
  • Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожен його ідеал є скінченно породженим. Тобто для кожного ідеалу I кільця R існують такі елементи a_1, a_2, \ldots, a_k \in R, що I=\{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_kx_k : x_1, x_2,\ldots x_k \in R\}.

Приклади[ред.ред. код]

Приклади кілець Нетер:

чи коефіцієнтами з деякого поля.

Приклади кілець, що не є кільцями Нетер

  • Кільце многочленів, з нескінченною кількістю змінних.
  • Кільце неперервних функцій з множини дійсних функцій в множину дійсних функцій.

Властивості[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]