Кільце многочленів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце многочленівкільце в абстрактній алгебрі, утворене множиною многочленів (однієї або декількох змінних) з коефіцієнтами з деякого іншого кільця.

Кільця многочленів відіграють важливу роль в математиці, від теореми Гільберта про базис і побудови полів розкладу до розуміння лінійного оператора.

Многочлени однієї змінної[ред.ред. код]

Многочлени[ред.ред. код]

Многочленом від X з коефіцієнтами з поля K є наступний вираз

p = p_m X^m + p_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + p_1 X + p_0,

де p0, …, pm є елементами K, а X, X2, … є формальними символами ("степенями X"). Такі вирази можна додавати та множити з подальшим приведенням до такої ж форми застосовуючи асоціативність, комутативність, дистрибутивність. Добуток степенів X визначається за формулою:

 X^k\, X^l = X^{k+l},

де k і l довільні натуральні числа. Два многочлени є рівними тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при одинакових степенях X є рівними. За визначенням, X1 = X, X0 = 1.

Степінь многочлена — найбільше k таке, що коефіцієнт Xk не рівний нулю. Для нульового многочлена степінь не визначений.

Кільце многочленів K[X][ред.ред. код]

Множина многочленів з коефіцієнтами з поля K утворює комутативне кільце, позначається K[X] і називається кільце многочленів над K.

Важливими випадками є многочлени з дійсними чи комплексними коефіцієнтами, які розглядаються як функції. Хоча, в загальному випадку, X та степені Xk, розглядаються як формальні символи, а не елементи поля K. Можна вважати, що K[X] утворюється з K приєднанням елемента X та вимогою, щоб X комутував зі всіма елементами K. Також потрібно включити в K всі степені від X, що приводить нас до визначення многочлена як лінійної комбінації степенів від X з коефіцієнтами з K.

Операції кільця визначаються так:

\left(\sum_{i=0}^na_iX^i\right) + \left(\sum_{i=0}^n b_iX^i\right) = \sum_{i=0}^n(a_i+b_i)X^i

та

\left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m  b_jX^j\right) = \sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i + j = k}a_i b_j\right)X^k.


Властивості K[X][ред.ред. код]

Кільце K[X] дуже подібне до кільця цілих чисел. Ця аналогія була вивчена Гаусом і служила моделлю для абстрактної алгебрив 19 столітті в роботах Кумера, Кронекера та Дедекінда.

  • Фактор-кільце K[X]: кільце K[X] утворюється з кільця K приєднанням елемента X. Довільне комутативне кільце L, що утворене з K приєднанням одного елемента може бути описаним через K[X]. Зокрема, це стосується скінченних розширеннь K.

Якщо L — комутативне кільце , що містить K і елемент θ, що не належить K. Тоді довільний елемент L є лінійною комбінацією степенів θ з коефіцієнтами з K. Тоді існує єдиний епіморфізм φ з K[X] в L що не змінює елементи K і відображає степені X на аналогічні степені θ. Тобто, L є гомоморфний образ K[X]. Ker φ є ідеалом K[X] і за першою теоремою про ізоморфізми, L ізоморфний фактор-кільцю K[X] на Ker φ. Оскільки K[X] є кільцем головних ідеалів, цей ідеал є головним: тому існує многочлен pK[X] такий, що:

 L \simeq K[X]/(p).

Коли L є полем, тоді многочлен p буде незвідним. І навпаки, теорема про первісний елемент стверджує, що довільне скінченне сепарабельне розширення L/K може бути утворене єдиним елеметом θL іпопередній випадок надає приклад поля L як фактор-кільця K[X] по головному ідеалу утвореному незвідним многочленом p. Наприклад, поле комплексних чисел є розширенням поля дійсних чисел утворене єдиним елементом i таким, що i2 + 1 = 0. Відповідно, многочлен X2 + 1 є незвідним над R та

 \C \simeq \R[X]/(X^2+1).

Многочлени однієї змінної[ред.ред. код]