Лагранжіан Дарвіна

Лагранжіан Дарвіна (названий на честь Чарлза Ґалтона Дарвіна, онука відомого біолога) описує взаємодію до порядку

${v^2\over c^2}$

між двома зарядженими частинками у вакуумі та дається виразом:

$L^{ } = L_f + L_{int}^{ }$

де вільночастинковий лагранжіан має вигляд:

$L_{f} = {1\over 2} m_1v_1^2 + {1\over 8c^2}m_1v_1^4 + {1\over 2} m_2v_2^2 + {1\over 8c^2}m_2v_2^4,$

а лагранжіан взаємодії:

$L_{int} = L_C + L_{D}^{ }$

де перший доданок є кулонівською взаємодією:

$L_{C} = -{q_1q_2 \over r }$

а другий - дарвінівською:

$L_{D} = {q_1q_2 \over r }{1\over 2c^2} \mathbf v_1\cdot \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot\mathbf v_2.$

Тут q₁ та q₂ є зарядами частинок 1 та 2 відповідно, m₁ та m₂ - їхніми масами, v₁ та v₂ - швидкостями; c - швидкість світла, r - вектор між двома частинками, а $\hat{\mathbf r}$ - одиничний вектор в напрямку r.

Вільний Лагранжіан є розкладом в ряд Тейлора вільного лагранжіану двох релятивістських частинок з точністю до величин другого порядку по v. Доданок з дарвінівською взаємодією відповідає реакції однієї частинки на магнітне поле, що створює друга частинка. Якщо члени вищих порядків по v/c збережені, тоді слід враховувати польові ступені вільності і взаємодія між частинками більше не може розглядатись як миттєва. В такому випадку повинні братись до уваги запізнювальні ефекти.

Дарвінівська взаємодія у вакуумі

Лагранжіан для релятивістської взаємодії частинки з зарядом q, що взаємодіє з електромагнітним полем, має вигляд:

$L_{int} = -q\Phi +{q\over c} \mathbf u \cdot \mathbf A$

де u - релятивістська швидкість частинки. Перший доданок справа виражає кулонівську взаємодію, другий - дарвінівську. Векторний потенціал в кулонівській калібровці задається рівнянням (в одиницях Ґауса):

$\nabla^2 \mathbf A - {1\over c^2} {\partial^2 \mathbf A \over \partial t^2} = -{4\pi \over c} \mathbf J_t$

Де поперечний потік J_t є вихровим потоком (див.теорему розкладу Гельмгольца), створеним другою частинкою. Дивергенція поперечного потоку нульова.

Потік, що створює друга частинка:

$\mathbf J = q_2 \mathbf v_2 \delta \left( \mathbf r - \mathbf r_2 \right),$

що відповідає перетворенню Фур'є:

$\mathbf J\left( \mathbf k \right) \equiv \int d^3r \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r \right) \mathbf J\left( \mathbf r \right) = q_2 \mathbf v_2 \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r_2 \right).$

Поперечна компонента потоку:

$\mathbf J_t\left( \mathbf k \right) = q_2 \left[ \mathbf 1 - \mathbf{\hat k} \mathbf{\hat k} \right] \cdot \mathbf v_2 \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r_2 \right).$

Легко переконатися, що:

$\mathbf k \cdot \mathbf J_t\left( \mathbf k \right) = 0,$

що має виконуватись, якщо дивергенція поперечного потоку рівна нулю. Бачимо, що

$\mathbf J_t\left( \mathbf k \right)$

є компонентою перетворення Фур'є, перпендикулярною до k.

З рівняння для векторного потенціалу, Фур'є-перетворення цього потенціалу:

$\mathbf A \left( \mathbf k \right) = {4\pi \over c} {q_2\over k^2} \left[ \mathbf 1 - \mathbf{\hat k} \mathbf{\hat k} \right] \cdot \mathbf v_2 \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r_2 \right)$

де зберігся член лише найнижчого порядку по v/c.

Зворотнє перетворення Фур'є векторного потенціалу:

$\mathbf A \left( \mathbf r \right) =\int { d^3 k \over \left ( 2 \pi \right ) ^3 } \; \mathbf A \left( \mathbf k \right) \;{ \exp \left ( i\mathbf \mathbf k \cdot \mathbf r_1 \right ) } = {q_2\over 2c} {1 \over r } \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot \mathbf v_2$

де

$\mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2$

(див. Інтеграли, поширені в квантовій теорії поля)

Тоді доданок з дарвінівською взаємодією в лагранжіані буде:

$L_{D} = {q_1 q_2\over r} {1 \over 2c^2 } \mathbf v_1 \cdot \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot \mathbf v_2$

де ми знову отримуємо член лише найнижчого порядку по v/c.

Рівняння руху Лагранжа

Рівняння руху для однієї з частинок:

${d \over dt} {\partial \over \partial \mathbf v_1} L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) = \nabla_1 L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right)$

${d \mathbf p_1 \over dt} = \nabla_1 L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right)$

де p₁ -- імпульс частинки.

Вільна частинка

Рівняння руху для вільної частинки, в якому не враховується взаємодія між двома частинками:

${d \over dt} \left[ \left( 1 + {1\over 2} { v_1^2\over c^2 } \right)m_1\mathbf v_1 \right]=0$

$\mathbf p_1 = \left( 1 + {1\over 2} { v_1^2\over c^2 } \right)m_1\mathbf v_1$

Частинки, що взаємодіють

Рівняння руху для частинок, що взаємодіють:

${d \over dt} \left[ \left( 1 + {1\over 2} { v_1^2\over c^2 } \right)m_1\mathbf v_1 +{q_1\over c}\mathbf A\left( \mathbf r_1 \right) \right]= -\nabla {q_1 q_2 \over r} +\nabla \left[ {q_1q_2 \over r }{1\over 2c^2} \mathbf v_1\cdot \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot\mathbf v_2 \right]$

${d \mathbf{p}_1\over dt} = {q_1 q_2 \over r^2}{\hat{\mathbf r}} +{q_1 q_2 \over r^2}{1\over 2c^2} \left\{ \mathbf v_1 \left( { {\hat{\mathbf r}}\cdot \mathbf v_2} \right) + \mathbf v_2 \left( { {\hat{\mathbf r}}\cdot \mathbf v_1}\right) - {\hat{\mathbf r}} \left[ \mathbf v_1 \cdot \left( \mathbf 1 +3 {\hat{\mathbf r}}{\hat{\mathbf r}}\right)\cdot \mathbf v_2\right] \right\}$

$\mathbf p_1 = \left( 1 + {1\over 2} { v_1^2\over c^2 } \right)m_1\mathbf v_1 +{q_1\over c}\mathbf A\left( \mathbf r_1 \right)$

$\mathbf A \left( \mathbf r_1 \right) = {q_2\over 2c} {1 \over r } \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot \mathbf v_2$

$\mathbf r =\mathbf r_1 - \mathbf r_2$

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі пов'язаний з лагранжіаном Дарвіна через перетворення Лежандра:

$H = \mathbf p_1 \cdot \mathbf v_1 + \mathbf p_2 \cdot \mathbf v_2 - L.$

В такому випадку маємо гамільтоніан:

$H\left( \mathbf r_1 , \mathbf p_1 ,\mathbf r_2 , \mathbf p_2 \right)= \left( 1 - {1\over 4} { p_1^2\over m_1^2 c^2 } \right){ p_1^2 \over 2 m_1} \; + \; \left( 1 - {1\over 4} { p_2^2\over m_2^2 c^2 } \right){ p_2^2 \over 2 m_2} \; + \; {q_1 q_2 \over r } \; - \; {q_1q_2 \over r }{1\over 2m_1 m_2 c^2} \mathbf p_1\cdot \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot\mathbf p_2 .$

Рівняння руху Гамільтона

Рівняння руху Гамільтона мають вигляд:

$\mathbf v_1 = {\partial H \over \partial \mathbf p_1}$

та

${d \mathbf p_1 \over dt} = -\nabla_1 H$

Це дає:

$\mathbf v_1 = \left( 1- {1\over 2} {p_1^2 \over m_1^2 c^2} \right) {\mathbf p_1 \over m_1} - {q_1 q_2\over 2m_1m_2 c^2} {1 \over r } \left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right] \cdot \mathbf p_2$

та

${d \mathbf p_1\over dt} = {q_1 q_2 \over r^2}{\hat{\mathbf r}} \; + \; {q_1 q_2 \over r^2}{1\over 2m_1 m_2 c^2} \left\{ \mathbf p_1 \left( { {\hat{\mathbf r}}\cdot \mathbf p_2} \right) + \mathbf p_2 \left( { {\hat{\mathbf r}}\cdot \mathbf p_1}\right) - {\hat{\mathbf r}} \left[ \mathbf p_1 \cdot \left( \mathbf 1 +3 {\hat{\mathbf r}}{\hat{\mathbf r}}\right)\cdot \mathbf p_2\right] \right\}$

Слід зазначити, що для рівняння Брейта першопочатково використовувались дарвінівський лагранжіан та гамільтоніан. Проте найкраще воно підтверджується в теорії поглинання Вілера-Фейнмана і тепер в квантовій електродинаміці.

Джерела

• Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley, 1998, pp. 596-598