Ланцюговий комплекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.

Ланцюговий комплекс[ред.ред. код]

Ланцюговим комплексом називається послідовність (K_\bullet, \partial_\bullet) модулів і гомоморфізмів \partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}, що називаються граничними операторами або диференціалами

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots


така що \partial_{n}\partial_{n+1}=0. Елементи K_n називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра Z_n K=Ker \partial_n — n-вимірними циклами, елементи образа B_n K=Im\partial_{n+1} — n-вимірними границями. З \partial_{n}\partial_{n+1}=0 випливає, що B_n K \subset Z_n K (т.зв.напівточність). Якщо до того ж B_n K = Z_n K, то такий комплекс називається точним.

Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами ~\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet), де \varphi_{\bullet} послідовність морфізмів \varphi_{n}\colon K_n \to L_n, така що \varphi_{n} комутує з диференціалом, тобто \partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}.

Коланцюговий комплекс[ред.ред. код]

Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів (\Omega^{\bullet}, d^{\bullet}) і гомоморфізмов d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}, таких що

d^{n+1} d^n = 0

Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \ldots

Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.

Гомології і когомології[ред.ред. код]

n-вимірна група гомологій H_n ланцюгового комплексу (K_\bullet, \partial_\bullet) є його мірою точності в n-ому члені і визначається як

H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker} \partial_n / \mathrm{Im}, \partial_{n+1}. Для точного комплексу H_n=0

Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker} d^n / \mathrm{Im}, d^{n-1}

Приклади[ред.ред. код]

Симпліціальна гомологія[ред.ред. код]

Нехай маємо симпліціальний комплекс K.

Визначимо Cn(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:

\partial_n: C_n(K) \to C_{n-1}(K): \, ([v_0,\ldots,v_n]  \mapsto  \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma([v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),

Виконується властивість ∂² = 0, отже (C_\bullet, \partial_\bullet) є ланцюговим комплексом; симпліціальна гомологія H_\bullet(X) визначається:

H_n(X) = \ker \partial_n / \mbox{im } \partial_{n+1}.

Когомологія де Рама[ред.ред. код]

Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ωk(M). Зовнішня похідна dk є відображенням з Ωk(M) в Ωk+1(M), і d 2 = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:

 \Omega^0(M)\ \stackrel{d_0}{\to}\ \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \cdots.

Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:

H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_k / \mathrm{im} \, d_{k-1}.

Гомоморфізми ланцюгових комплексів[ред.ред. код]

Гомоморфізмом ланцюгових комплексів (A^\bullet, \delta^\bullet) і (B^\bullet, \gamma^\bullet) називається таке відображення f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N, що наступна діаграма є комутативною:

Complexchainmorph.PNG

Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.

Ланцюгова гомотопія[ред.ред. код]

Ланцюгова гомотопія D\colon X \to Y між гомоморфізмами комплексів f і g — гомоморфізм ланцюгових комплексів (X^\bullet, \partial^\bullet) і (Y^\bullet, \delta^\bullet) ступеня +1 (тобто D_k \colon X_k \to Y_{k+1}), для якого

\delta D + D \partial = g - f
\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k

Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.

Diagram chain homotopy.svg

Література[ред.ред. код]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
  • Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.