Ланцюговий комплекс

Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.

Ланцюговий комплекс

Ланцюговим комплексом називається послідовність $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ модулів і гомоморфізмів $\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}$, що називаються граничними операторами або диференціалами

$\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots$

така що $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$. Елементи $K_n$ називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра $Z_n K=Ker \partial_n$ — n-вимірними циклами, елементи образа $B_n K=Im\partial_{n+1}$ — n-вимірними границями. З $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ випливає, що $B_n K \subset Z_n K$ (т.зв.напівточність). Якщо до того ж $B_n K = Z_n K$, то такий комплекс називається точним.

Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами $~\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet)$, де $\varphi_{\bullet}$ послідовність морфізмів $\varphi_{n}\colon K_n \to L_n$, така що $\varphi_{n}$ комутує з диференціалом, тобто $\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}$.

Коланцюговий комплекс

Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ і гомоморфізмов $d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}$, таких що

$d^{n+1} d^n = 0$

Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.

$\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \ldots$

Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.

Гомології і когомології

n-вимірна група гомологій $H_n$ ланцюгового комплексу $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ є його мірою точності в n-ому члені і визначається як

$H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker} \partial_n / \mathrm{Im}, \partial_{n+1}$. Для точного комплексу $H_n=0$

Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:

$H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker} d^n / \mathrm{Im}, d^{n-1}$

Приклади

Симпліціальна гомологія

Нехай маємо симпліціальний комплекс K.

Визначимо C_n(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:

$\partial_n: C_n(K) \to C_{n-1}(K): \, ([v_0,\ldots,v_n] \mapsto \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma([v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),$

Виконується властивість ∂² = 0, отже $(C_\bullet, \partial_\bullet)$ є ланцюговим комплексом; симпліціальна гомологія $H_\bullet(X)$ визначається:

$H_n(X) = \ker \partial_n / \mbox{im } \partial_{n+1}.$

Когомологія де Рама

Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ω^k(M). Зовнішня похідна d_k є відображенням з Ω^k(M) в Ω^k+1(M), і d ² = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:

$\Omega^0(M)\ \stackrel{d_0}{\to}\ \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \cdots.$

Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:

$H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_k / \mathrm{im} \, d_{k-1}.$

Гомоморфізми ланцюгових комплексів

Гомоморфізмом ланцюгових комплексів $(A^\bullet, \delta^\bullet)$ і $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ називається таке відображення $f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N,$ що наступна діаграма є комутативною:

Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.

Ланцюгова гомотопія

Ланцюгова гомотопія $D\colon X \to Y$ між гомоморфізмами комплексів $f$ і $g$ — гомоморфізм ланцюгових комплексів $(X^\bullet, \partial^\bullet)$ і $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ ступеня +1 (тобто $D_k \colon X_k \to Y_{k+1}$), для якого

$\delta D + D \partial = g - f$

$\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k$

Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.

Література

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
• Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.